不确定的科学

我们周围的世界并不是静止的、一成不变的。我们身边的绝大多数事物，要么正在运动中，要么处于不断变化中。甚至我们脚下看起来十分稳定的地球，事实上也在时刻不停地围绕它的轴进行着自转，同时又在围绕太阳公转，并且还（与太阳一起）围绕银河的中心旋转。我们呼吸的空气实际上是由数以亿计的微粒组成的，它们无时无刻不在漫无目的地移动着。在同一时刻，树木在生长，放射性元素在衰减，大气温度根据季节变化每天都有升降差异，并且人类对生活的期望值也在不断增长。这种宇宙中无处不在的、永不停息的运动，并没有难住数学。利用由牛顿和莱布尼茨引入的一个数学分支，也就是众所周知的微积分^［147］，我们可以对运动和变化进行严谨的分析和准确的建模。今天，这项极为有效的工具得到了十分广泛的应用，它可以用来解决多种多样的问题，例如，宇航飞船的运动轨道计算，或者传染病的传播扩散分析等。正如在拍电影时，通过把运动分解为一帧接一帧连续的画面，就可以捕捉到运动的瞬间一样，通过这种细微的栅格，微积分可以测量变化，而这种栅格允许对非常短暂的现象定量测定，例如瞬时的速度、加速度或变化的比例。

沿着牛顿和莱布尼茨这样的巨人的步伐，理性时期（17世纪晚期到18世纪）的数学家进一步拓展了微积分，将它发展为一门更有效、应用范围更广阔的数学分支，这就是微分方程。装备了这种新式武器之后，数学家们可以从细节上为各种各样、纷繁复杂的现象从数学理论上提供解释，从小提琴的弦产生音乐的奥秘、热的传导、喷泉顶部水花的运动，到水和空气的流动，可谓无所不包。一时间，微分方程成为物理学研究所必需的工具。

首先为探索微分方程的发展开辟了新的应用前景的科学家，正是富有传奇色彩的伯努利家族成员^［148］。从17世纪中叶到19世纪中叶，在这个家族里至少诞生了 8位有影响力的数学家。而这几位才华横溢的家庭成员之间激烈的竞争^［149］和他们卓越杰出的数学贡献几乎同样有名。虽然伯努利家族内部成员之间的纷争通常都与争夺数学上的权威有关，但他们争论的问题在今天看来似乎算不上最重要。尽管如此，那些错综复杂难题的解决，还是为数学本身的发展在很多方面奠定了坚实基础。但总体而言，毫无疑问，在将数学建立为各种物理过程共同的语言的过程中，伯努利家族发挥了巨大作用。

有一个故事能帮助我们理解伯努利家族中最聪明的两个成员的思维：哥哥雅各布·伯努利（Jakob，1654—1705）和弟弟约翰·伯努利（Johann，1667—1748）。雅各布·伯努利是概率论的创始人之一，在本章稍后部分我们会继续讨论他。在1690年，当时的一个老问题重新引起了雅各布的关注，说它“老”，是因为这个问题最早是由文艺复兴时期的代表人物达芬奇在两个世纪前提出来的，达芬奇还对它进行了认真研究。这个问题是这样的：一根灵活的但是却不能延展的链条，当它的两端固定时，它垂下来时的形状是什么样的（如图 5-1 所示）？达芬奇在他的笔记本上画了几根类似这种链条的草图。笛卡儿的朋友艾萨克·比克曼曾经向他请教过同样的问题，但没有证据表明笛卡儿试图解决过它。最终，这个问题成为数学史上一个著名的难题：悬链线问题^［150］。（这个名称来自于拉丁语 catena，意思是“一根链子”）。伽利略曾认为悬链线的形状是抛物线，但被法国耶稣教会数学家伊格内修斯·帕迪斯（Ignatius Pardies，1637—1673）证明是错误的，不过，很明显，对于从数学上真正解决它并给出悬链线正确的形状这样一个任务，帕迪斯并不能胜任。

图5-1

在雅各布·伯努利重新提出这个问题仅仅一年之后，他的弟弟约翰·伯努利给出了正确答案（他利用的数学工具就是微分方程）。莱布尼茨和荷兰数学物理学家克里斯汀·惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）也同样解决了它，但是惠更斯采用的是一种更难理解的几何方法。约翰对于他能成功地解决这个困扰了他的哥哥和他的老师的问题感到极为自得，甚至在他的哥哥雅各布去世13年后，仍不时得意洋洋地提起。约翰在 1718年9月29日写给法国数学家皮埃尔·雷蒙德·蒙特莫特（Pierre Rémond de Montmort，1678—1719）的一封信^［151］中，表现出了这种无法抑止的狂喜：

你说是我的哥哥提出了这个问题，这的确是事实；但你随后又说是他给出了这个问题的解答，这却不是真的。当他在我的建议下提出了这个问题时（当时是我首先想到了这个问题），没有一个人能给出答案，包括我们俩人在内。到最后，我们甚至对解决这个问题基本上不抱什么希望了，认为它根本是无法解决的。一直到1690年，莱布尼茨在莱比锡的杂志上发表了一篇文章说他已经解决了这个问题，但是他并没有给出他的解答过程，这为其他研究人员留出了思考时间，同时也极大地鼓舞了我们，让我的哥哥和我有了重新开始研究的勇气。

在这里，约翰有点厚脸皮地把“提出这个问题”的建议也当做了自己的功劳，之后他掩饰不住内心的喜悦，继续写道：

我哥哥的努力没有取得什么进展，而我则比较幸运，因为我发现了足以解决这个问题的技巧，（这里我并不是吹牛，我为什么要掩盖真相呢？）它花费了我整整一个晚上的时间，直到第二天清晨，我终于把它弄明白了，我欣喜若狂，马上冲向了我哥哥的房间，当时他也在为这个戈尔迪亚斯结[15]头痛不已，并且茫无头绪，他同伽利略一样认为这个悬垂链是一条抛物线。停！停！我对他说，别再费神证明悬垂链的形状是抛物线这种说法了，因为它根本就是完全错误的……但是你却告诉我是我哥哥解决了这个问题，这简直太荒谬了。我问你，你难道真的认为，如果是我哥哥解决了这个问题的话，他会那么好心地对待我，把第一个解决了这个难题的荣誉让给我，让我与惠更斯、莱布尼茨等先生站在主席台的最前排，而他自己却不出现在这一顶尖人物组成的行列？

如果你需要证据证明数学家也有普通人的各种情感，也有一般人所具有的喜怒哀乐，只用这一个故事就完全足够了。然而家庭内部的竞争丝毫没有削弱伯努利家族的辉煌成就。在发生了悬链线问题这个小插曲之后的几年里，雅各布·伯努利、约翰·伯努利和丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）不但解决了类似悬垂链这样的问题，并且还解决了抛射体（如子弹、炮弹等）在阻尼介质中的运动，通过这些问题的解决进一步发展了微分方程。

悬垂链的故事从另一个侧面说明了数学的力量——即使那些表面上看起来微不足道的物理问题也有数学解决方案。顺便说一句，悬垂链的形状让数以百万计的旅游者在参观密苏里州的圣路易斯大拱门（Gateway Arch）时感到了愉悦。荷兰裔美国籍建筑师艾洛·萨里宁（Eero Saarinen，1910—1961）和德国裔美国籍结构工程师汉斯卡尔·班德尔（Hannskarl Bandel，1925—1993）就是以反转的悬垂链形状设计了这一标志性的建筑结构。

在发现支配宇宙行为的数学规律方面，物理学领域取得了令世人震惊的成果，这不可避免地引起了人们的疑问：类似的原理是不是也能解释生物学、社会学或经济学的活动？数学家们怀疑数学难道只是自然的语言？或者它也是人性的语言？甚至如果普遍适用的数学规律并不是真实存在的话，那么数学工具是不是至少可以被用于对人类社会行为建模并提供解释？首先，大多数数学家非常肯定，基于微积分的某些“规律”可以精确地预测所有未来的事件，无论这些事是大是小。这也是著名的数学物理学家皮埃尔·西蒙德·拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749—1827）的观点。拉普拉斯在他的五卷本的著作《天体力学》（Celestial Mechanics）中，第一次对太阳系中的运动给出了完整的（严格地说是近似完整的）解释。另外，拉普拉斯还回答了一个甚至连巨人牛顿都为之困惑不已的问题：为什么太阳系如此稳定？牛顿曾认为由于星体之间的相互吸引力，行星最终将不得不落向太阳，或飞离（太阳）进入自由的宇宙空间，在解释保持太阳系的稳定和完整的原因时，牛顿借用了上帝之手来说明他的观点。拉普拉斯并不认同这样的思想，他简单地从数学上证明了太阳系的稳定周期远比牛顿先前预测的时间要长久得多。这种观点取代了牛顿所提出的，是上帝的努力才保证了太阳系的稳定。为了解决这个十分复杂的问题，拉普拉斯还引入了另外一种数学形式，也就是后来人们所知道的扰动理论，利用这一理论，拉普拉斯计算出了影响每颗行星轨道运行的众多微扰力量累积叠加后的效应。最后，拉普拉斯第一次提出了太阳系起源的模型，这一模型集中反映在他的星云假说中，他认为太阳系是由一团气态的星云收缩固化后形成的。

在认识到拉普拉斯取得的卓越成就之后，我们也许就会理解拉普拉斯在他的《关于概率的哲学思考随笔》（Philosophical Essay on Probabilities）^［152］中那些大胆的思想和观点，并不会对此大惊小怪了：

所有的事件，甚至是那些看起来微不足道，并且似乎不遵循自然伟大法则的事件，事实上都是太阳公转的结果。忽略了把这类事件统一为一个完整的宇宙系统的联系，那些事件将不得不依赖终极因，而这些终极因会产生或面临危害……因此，我们应当把现在我们眼前的这个宇宙的状态看做是先前宇宙状态的结果，以及未来宇宙状态的原因。如果一种智能生物知道某一时刻所有自然运动的力和所有物体的位置，并且能够对这些数据进行分析，那么宇宙最大的物体到最小的粒子的运动，都会包含在一条简单的公式中。对于这种智能生物来说，没有任何事物会是含糊不清的，而未来也只会像过去一样出现在他面前。与这个智能生物相比，人类在天文学上的理论，仍然不具有很强的说服力。

也许你对拉普拉斯在这个假说里所提出的那个至高无上的“智能生物”有疑问。实际上，拉普拉斯在这里所说的智能生物并不是上帝。与牛顿和笛卡儿不同，拉普拉斯并不是一位虔诚的教徒。后来，当拉普拉斯把他的《天体力学》献给拿破仑·波拿巴时，由于在这之前已经从其他人那里听说了拉普拉斯在这本书中并没有涉及上帝，所以拿破仑问他：“拉普拉斯先生，他们告诉我说你在写这部关于宇宙系统的宏篇巨著时甚至没有提及它的创造者？”拉普拉斯迅速地回答道：“是因为我不需要那种假想。”被逗乐了的拿破仑把拉普拉斯的回答当做笑话讲给了数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日（Josph-Louis Lagrange）。拉格朗日惊奇地说：“啊！这是一个优美的假想，它能解释许多事情。”故事到这里并没有完，当拉普拉斯听说了拉格朗日的反应后，他淡淡地评论道：“这个假想，先生，事实上能解释所有的事情，但是它却不允许作出任何预测。作为一名学者，我必须向您提供允许预测的理论著作。”

量子力学是一门研究亚原子世界的科学理论，20世纪量子力学的发展证明了宇宙万物全部都是确定的这一观念太过于乐观了。现代物理学研究已经证实，要精确预测每一次试验的结果是不可能的，哪怕只是在大体上进行预测也是不可能的。理论只能预测不同结果的可能性。很清楚，在社会科学中情况会变得更加复杂，因为社会科学中的各种相关因素往往交织在一起，并且它们通常是很难确定的。17世纪的研究者们很快就发现，要寻找像牛顿的万有引力定律那样精确，并且普遍适用的社会规律，从一开始就注定是不可能成功的。暂时来说，当把人类天性的复杂性引入方程式时，要想获得确切的预测，几乎是不可能的。当把整个人类的思维都纳入考察范围内时，就更加没有希望了。然而科学家们并没有气馁，一小批具有天才智慧的思想者们发展出了全新的、革命性的数学工具——统计学和概率论。