教高中数学竞赛辅导课时，我在某次课堂测验中出了这么一道题：
构造一个从全体正整数映射到全体正整数的函数 f（n），使得每一个正整数都被映射过无穷多次。
乍一看，这似乎很难办到。我们可以令f（n）等于n除以1 000 000的结果的整数部分，让每个正整数都被映射过1 000 000次；也可以令f（n）等于n除以1 000 000的余数，让 1 000 000以内的正整数都被映射过无穷多次。不过，我们真的能让所有正整数都被映射无穷多次吗？
答案是肯定的。当时，我自己提供的标准答案是：
令 f（n）等于n的各位数字之和。
例如，808 067的各位数字之和是8﹢0﹢8﹢0﹢6﹢7＝29，因此f（808067）＝29。很容易看出，任意一个正整数都有无穷多个原象。比方说，对于某个正整数m，令n为m个数字1相连组成的m位数，于是就有 f（n）＝m。在n里面的任意位置添加任意多个0，其函数值仍然为m，因而m有无穷多个原象。
看到学生们交上来的试卷后，我非常高兴。绝大多数学生的答案都是正确的，并且他们的构造思路完全不同。某个学生写的是：
令 f（n）等于去掉n中的所有数字 9，把剩下的数当做九进制并将其转换为十进制后的结果。
例如，去掉9 012 998中的所有数字9后，得到一个新的数128。把128当做九进制数，转换为十进制数后便是 107。于是满足要求。
美中不足的是，这个函数的函数值有可能等于0，而题目则要求函数的值域不包含0。其实，这个问题不大，我们只需要在函数 f（n）的定义后面加一句“如果算出来的结果为 0，就随便取一个正整数（比如 1）作为函数值”或者“把算出来的结果再加1作为函数值”即可。
另一个学生则写道：
令 f（n）等于n中所含质因数2的个数。
例如，358 400可以分解为211×52×7。于是f（358400）＝ 11。显然，这也是一个满足要求的答案。注意，这个函数也存在上面提到的值域问题，不过也可以用类似的方法进行完善。
上述答案都很巧妙。不过，下面这个才是当时我所见到的最简单、最直接的答案：
令 f（n）等于数列1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，1，2，3，4，5，…中的第n项。
当然，方法还有很多。你还能想出多少来？
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