前一节的问题有一个非常自然的扩展：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的n个正面？显然，当n更大的时候，平均次数的计算将会更加复杂，很快就会演变成一大堆难以化简的代数式。有趣的是，这个问题的最终结论却出人意料地简单：为了得到连续n个正面，平均需要抛掷2n-1-2次硬币。简单美妙的结论让我们不由得开始思考，这个问题有没有什么可以避免复杂计算的巧妙思路？万万没有想到的是，在赌博问题的研究中，各种数学工具帮了不少大忙；而这一回，该轮到赌博问题反过来立功了。
设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反。游戏规则很简单，玩家下注x元钱，赌正面或者反面；然后庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这x元，如果玩家猜对了他将得到2x元的回报（也就是净赚x元）。
让我们假设每一回合开始之前，都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同赌博。每个玩家最初都只有1元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话，从加入游戏开始，庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱。但只要输了一次，玩家就会把身上的所有钱全部输光，并失去继续参与游戏的资格。我们假设，赌场老板有一个心理承受能力极限：一旦有人连赢n次，赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场。让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论。
首先，连续n次正面朝上的概率虽然很小，但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时，赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那n个人。每个人都只花费了1元钱，但他们却赢得了不同数量的钱。其中，最后进来的人赢回了2元，倒数第二进来的人赢回了4元，倒数第n进来的人则赢得了2n元（他就是令赌场关闭的原因），他们一共赚取了2+4+8+…+2n=2n+1-2元。其余所有人初始时的1元钱都打水漂了，因为没有人挺过了倒数第n﹢1轮游戏。
那么，整场游戏对玩家更有利还是对赌场老板更有利呢？或者换个问法，平均情况下，赌场老板是赚了还是亏了呢？答案当然是既不赚也不亏。由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此平均情况下，赌场的盈亏应该是平衡的，赌场老板的停业措施并不能改变这一点。因此，有多少钱流出了赌场，平均就有多少钱流进赌场。既然赌场被赢走了2n﹢1-2元，因此赌场的期望收入也就是2n﹢1-2元。而赌场收入的唯一来源是每人 1元的初始赌金，这就表明游戏者的期望数量是2n﹢1-2个。换句话说，游戏平均进行了2n﹢1-2次。再换句话说，平均抛掷2n﹢1-2次硬币才会出现n连正的情况。
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