定宽曲线与蒲丰投针实验

想象你在搬家时，需要让一个椭圆形的桌子通过一个笔直狭长的走廊。如果横着搬搬不过去，没准竖着搬就能搬过去了。毕竟，椭圆在不同方向上“宽度”是不一样的。不过，如果需要搬过去的是一个圆形的桌子，桌子的朝向就无所谓了。因为在各个方向上，圆的宽度都是一样的。

在数学中，违反直觉的东西太多了。你相信吗？除了圆以外，还有其他的平面几何图形，它在各个方向上的宽度也都一样！

让我们来构造一个满足要求的图形。如图 1，先画一个边长为 1 的等边三角形ABC。然后，将每条线段两头各向外延长1个单位的长度，得到D、E、F、G、H、I这六个点。现在，以A为圆心，AD为半径画弧，把D、E两点连接起来；再以B为圆心，BE为半径画弧，把E、F两点连接起来；类似地，再分别以C、A、B、C为圆心、以CF、AG、BH、CI为半径，把剩下的点连接起来。

这个似圆非圆的图形就满足，在各个方向上的宽度都是一致的。从图2中容易看出，在任意一个地方，这个图形的宽度都等于3。

图1

图2

如果把若干个以此图形为横截面的铅笔垫在一块木板下，木板同样会毫无颠簸地向前滚动，和圆柱形滚轮的效果没什么两样。同样满足要求的图形还有很多很多，斯坦利·拉比诺维茨（Stanley Rabinowitz）甚至给出了一个非常复杂的八次曲线，它也满足宽度处处相同的性质。在数学中，我们把这种各处宽度都相同的平面几何图形叫做“定宽曲线”。

圆的很多性质都可以扩展到所有的定宽曲线中。例如，定宽曲线上任意两点之间的距离都不会超过图形的定宽。这又带来了下面这个有趣的“冷知识”：为了不让下水道井盖掉进下水道里，除了圆形井盖以外，所有定宽曲线形状的井盖也都是满足要求的。巴比尔（Barbier）定理则给出了定宽曲线的另一个漂亮的性质：如果一个定宽曲线的宽度为d，那么它的周长就是π·d（正如圆的周长与直径的关系一样）。换句话说，取一些宽度相同但形状不同的定宽曲线，它们在地上滚动一周后，都将会前进相同的距离。

在第14节讲数学常数时，我们就已经谈到过π了。我们说过，圆周率π经常出现在一些和它毫无关系的场合中。其实，我们当时并没有提到最典型的一个例子——蒲丰投针实验。这是由 18世纪法国著名数学家蒲丰（Comte de Buffon）在把微积分引入概率论时提出的：假设地板上画着一系列间距为1的平行线（见图3），把一根长度为1的针扔到地上，则这根针与地板上的平行线相交的概率是多少？答案非常出人意料：这个概率为2/π。

图3

利用一些微积分知识，我们可以很快证明这一结论。假设一根针的中心与地板上最近的直线距离为x，那么x的取值一定在0到12之间。此时，只要图4中所示的夹角θ不超过，这根针就会和直线相交。

图4

我们建立一个平面直角坐标系，其中横轴代表针的中心与最近直线的距离，取值范围是从0到1/2；纵轴则代表针的倾斜角度，取值范围是从0到π/2。如果把针在地板上的分布情况用这么一个矩形区域中的点集来表示，那么针会与平行线相交的情况就是图5中的阴影部分。

图5

利用微积分不难算出，阴影部分的面积是。而整个矩形的面积是，前者占后者的2/π。这就说明，针与平行线相交的概率是2/π。

不过，即使看到了结论的证明过程，大家或许还是感到很不理解：结论里的π究竟是哪里来的呢？这个结论是否有一个更加直观的解释呢？

现在，让我们来考虑任意长度甚至是任意形状的针，或者叫铁丝更为恰当一些。如图 6，把这样的铁丝扔在地板上，铁丝与平行线有可能相交不止一次。我们有这样一个神奇的结论：给定一根弯弯曲曲的铁丝，把它扔在地板上后，它与平行线的平均交点数量只与铁丝本身的长度有关。铁丝越长，平均交点数也会越大，两者成一个正比关系。下面有一个直观的证明思路。我们可以把这根铁丝看作是很多条短小的直线段组成的。那么，在大量的投铁丝实验，比如1亿次实验后，铁丝与平行线相交的总次数，就等于所有的小线段在所有1亿次实验中与平行线相交次数的总和。但是，每一条小线段的形状都是相同的，并且大量实验后，它们的落点最终都会均匀地分布在整个地板上（即使这些小线段之间是首尾相连的）。因此，在这 1 亿次实验中，每条小线段各自与平行线的相交总次数都是大体相同的。铁丝越长，铁丝所含的小线段越多，铁丝与平行线的总交点数也就会越多。自然，平均每次实验中铁丝与平行线的交点数，也就与铁丝的长度成正比了。也就是说，假设铁丝的长度是L，则铁丝与平行线的平均交点个数就是c·L，其中系数c是一个常数。

图6

这个常数是多少呢？为了求出这个常数，我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到，把一根长度为π的铁丝弯成一个直径为1的圆，再把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，c·π＝2，即c等于2/π。那么，一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/π；而由于这根针与平行线不可能有两个或两个以上的交点，因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。

好了，真正神奇的地方来了。由于“直径”为1的定宽曲线与平行线也总有两个交点，因此它的周长必然也是π。我们就这样证明了巴比尔定理，而巴比尔定理本来和概率论没有半点关系！