找东西背后的概率问题

各种违反常理的错觉图片和数学事实告诉我们，直觉并不可靠。其实这本身就是一种错觉，它让我们觉得直觉总是不可信的。而事实上，多数情况下直觉都是可信的，前一节的故事便是一例。我们来看另外一个有趣的例子。

我的书桌有8个抽屉，分别用数字1到8编号。每次拿到一份文件后，我都会把这份文件随机地放在某一个抽屉中。但我非常粗心，有1/5的概率会忘了把文件放进抽屉里，最终把这个文件搞丢。

现在，我要找一份非常重要的文件。我将按顺序打开每一个抽屉，直到找到这份文件为止（或者很悲剧地发现，翻遍了所有抽屉都没能找到这份文件）。考虑下面三个问题。

（1）假如我打开了第一个抽屉，发现里面没有我要的文件。这份文件在其余 7 个抽屉里的概率是多少？

（2）假如我翻遍了前 4 个抽屉，里面都没有我要的文件。这份文件在剩下的 4 个抽屉里的概率是多少？

（3）假如我翻遍了前 7 个抽屉，里面都没有我要的文件。这份文件在最后一个抽屉里的概率是多少？

继续往下看之前，大家不妨先猜一猜，这三个概率值是越来越大还是越来越小？

事实上，三个概率值分别是7/9、2/3和1/3。可能这有点出人意料，这个概率在不断地减小。但设身处地地想一下，这也不是没有道理的。这正反映了我们实际生活中的心理状态，与我们的直觉完全相符：假如我肯定我的文件没搞丢，每次发现抽屉里没有我要的东西时，我都会更加坚信它在剩下的抽屉里；但如果我的文件有可能搞丢了，那每翻过一个抽屉但没找到文件时，我都会更加慌张。我会越来越担心，感到希望越来越渺茫，直到自己面对着第8个抽屉，忐忑地怀着最后一丝希望，同时心里想：完了，这下可能是真丢了。

有一个非常巧妙的方法可以算出上面三个概率值来。

注意到，平均每 10份文件就有两份被搞丢，其余 8份平均地分给了 8个抽屉。假如我把所有搞丢了的文件都找了回来，那么它们应该还占2个抽屉。这让我们想到了这样一个有趣的思路：在这8个抽屉后加上2个虚拟抽屉——抽屉9和抽屉10，这两个抽屉专门用来装我丢掉的文件。我们甚至可以把题目等价地变为：随机把文件放在10个抽屉里，但找文件时不允许打开最后2个抽屉。当我已经找过n个抽屉但仍没找到我想要的文件时，文件只能在剩下的10-n个抽屉里，但我只能打开剩下的8-n个抽屉，因此所求的概率是。当n分别等于1、4、7时，这个概率值分别是7/9、2/3和1/3。

如果把写成，就很容易看出，当

0≤n≤8

时，它是一个递减函数。