时变理论分析

3　时变Copula参数演化方程构建及实证研究

任何事物都在发展变化，金融市场及金融资产组合也是一样。现实世界中，国家宏观政策的调整、证券市场规则的调整以及金融危机的爆发等等，都有可能影响金融市场及金融资产组合之间的相关结构及相关程度。此时在建模过程中可能会出现以下两种情况:①外部及内部环境发生了一定程度的改变，虽然市场或者资产组合间的相关模式没有发生变化，但是在不同时点的相关程度却并非一成不变，而是发生着剧烈波动。②随着外部环境的变化，如经济危机等极端事件的来临，导致金融风险在不同市场间传染，必然会导致市场间或者资产组合间的相关模式发生重大改变，原本完全不相关的资产在极端情形下可能变得相关。

这种相关程度或相关模式上的时变性，体现在时变Copula的研究中就是以下两大类:一类是时变相关的Copula模型;另一类就是变结构的Copula模型。本书研究的是前者，重点在于寻找参数时变的特性，运用时变相关的Copula模型研究市场之间或者资产组合间相关关系的动态变化。

3. 1　时变Copula理论分析

3.1.1　条件Copula的定义

在金融时间序列的分析中，时变Copula可以更加准确的拟合相关性。而要研究时变Copula，首先要将Copula的定义推到条件Copula。令Xt和Yt为t时刻的收益率，在给定历史收益信息集Ft－1的条件下，Ft(Xt|Ft－1)和Gt(Yt|Ft－1)分别为Xt和Yt的条件累计分布函数。Ht为(Xt，Yt| Ft－1)的联合条件分布。它们的边缘分布服从0－1均匀分布。当Ft和Gt分别对x、y连续时，存在唯一的函数Ct，使得:

上式就是条件分布Sklar定理，无条件情况下则是Sklar定理。Patton(2006a)已经提供了条件分布Sklar定理的证明。再结合分布函数和密度函数关系，通过对(3.1)式两边求二阶偏导，可以得到二元Copula的密度函数。

其中。

3.1.2　时变Copula模型的建立

目前常用的Copula函数有两类。第一类是叫做椭圆族，包括正态Copula函数和t－Copula函数。第二类是阿基米德族，包括Gumbel Copula，Clayton Copula和Frank Copula。因为椭圆族Copu-la可以方便地延伸到多变量的情境里，因而本章主要关注的对象是椭圆族Copula函数。

研究表明，当自相关系数小于1时，多元正态分布尾部呈现渐进独立性，从而无法捕捉到变量间的尾部相关性。由于不能捕获到极端事件之间的相关性，使得多元正态分布(高斯Copula)并不适合描述金融收益序列之间的相关性。Kole，Koedijk和Verbeek (2007)在包括股票、债券和房地产的资产组合风险分析中对高斯Copula和t－Copula进行了比较，结果显示t－Copula能准确地捕捉到分布的尾部相关性，而无需放弃对相关性建模的灵活性，而高斯Copula低估了联合极端向下运动的概率。常用的时变t－Copula分布函数形式如下:

其中，ρt是条件相关性参数，υt是条件自由度，Tυt代表自由度为υt的多变量T分布函数为T分布函数的逆。由条件分布函数可以得到t－Copula的条件密度函数。

其中。

t－Copula是二元t分布的相关结构，它是正态Copula的推广但考虑了非零的极端尾部。尾部相关性可通过“上尾相关”τU和“下尾相关”τL进行度量，由于t－Copula是对称的Copula，其上尾相关等于下尾相关。t－Copula的两个参数ρt和υt共同决定了变量在尾部的相关程度，其表达式如下:

上述Copula函数中，当相关程度参数ρt采用常数形式时，此时的Copula为静态或常态t－Copula模型;当相关程度参数ρt采用时变形式时，此时的Copula模型则是时变t－Copula模型。

由于资产间的相关关系随着外部及内部影响因素的变动随时都有可能发生波动。为了更好地度量资产组合风险和反应市场间或者资产组合间相关程度随时间变化的特点，一个办法是让相关程度参数ρt随时间变动。可以假定相关程度参数ρt波动特性的模型如下:

上式即为参数演化方程，它描述了相关性随时间变化的特点。ω表示能影响相关程度参数ρt波动情况的影响因子的集合，t代表时间。参数演化方程的建立其实就是根据已知信息对下一期参数值的估计，归根到底就是对相关程度，也就是模型参数的一个预测。

3. 2　时变Copula参数演化方程构建

根据上面的分析可知，时变Copula模型可以更好的描述变量之间的动态关系，而时变Copula的核心就是如何得到演化方程中随时间变化的参数。最先研究时变相关Copula模型的是Patton (2001)。Patton在分析汇率市场并利用二元正态Copula函数进行建模时，提出用一个类似于ARMA(1，10)的过程来描述二元正态Copula函数的相关程度参数，形式如下

随后，Patton(2006a，b)基于Hansen(1994)的自回归条件密度模型的精神，提出当前的相关性可以通过之前的相关性和两个变量累积概率的历史平均值进行解释。在Patton(2006a，b)的文章中，由于日元边缘分布模型存在10阶滞后，因此Patton类比(3.7)式，同样选择使用10阶滞后的平均，提出了如下条件t－Copula时变参数模型:

=(1－e－x)/(1+ e－x)是修正过的logistic函数，用以保证所有的相关程度参数ρt都在(－1，1)内。Φ－1(.)是正态条件累计分布函数的逆函数，T－1(.，υ)是自由度为υ的T分布的条件累计分布函数的逆函数。在式(3.7)和(3.8)中，观测值的转换变量乘积之和的均值可以用来捕捉相关性的变化。

Bartram，Taylor和Wang(2007)认为Patton的模型对滞后阶的选择具有随意性。为克服这个缺点，他们采用了包含自相关和历史项之差的绝对值的演化方程，并用于时变高斯Copula中。具体的演化方程为:

其中，β1，β2，ω和γ是需要被估计的参数，ut－1－vt－1是历史项之差的绝对值，用来描述相关过程的变化。其原理在于，已实现的累计概率差越大，相关性越低。

本书在Patton的模型基础上，参考Bartram，Taylor和Wang (2007)演化方程的思想，为更好地描述资产间相关程度的波动特性，对现有的t－Copula参数演进方程进行了三种方式的改进:

其中ωT，βT1，βT2，βT3和αT是需要估计的参数，= (1－e－x)/(1+ e－x)是经过修正的logistic函数，| T－1(ut－1;ν)－T－1(νt－1;ν)|是两个累计概率历史项之差的绝对值。为了简化，本书也假设t－Copula中的自由度υ为常数。

3. 3　参数估计实证检验

3.3.1　数据说明和统计性描述

为了考察本书所提出演化方程的适当性，同时也为了揭示香港股市和美国股市间的相关关系，包括相关结构和相关程度，分别选取美国股票市场中的标准普尔500(S＆P500)指数、香港股票市场中的恒生指数(Hanseng)作为研究对象。考虑到证券市场的制度变化、经济危机等极端事件常常导致市场相关结构发生变化而对时变Copula模型产生影响，本书选择了经济运行较为平稳的时期。样本区间为2002年1月2日至2006年12月29日。由于各国各地区节假日略有不同，使得交易日也略有差异，本书剔除了两个市场交易日不重叠的交易数据，经筛选共得到两个指数各1211个每日收盘价，取对数收益率，获得了1210对有效数据。样本数据来源为雅虎财经(http://cn. finance.yahoo. com)。两个指数的日收益序列走势如图3－1所示。两个数据序列的描述性统计如表3－1所示。

图3－1　两个指数的收益序列图

表3－1　两个指数收益的基本描述统计量

从图3－1和表3－1可以看出，标准普尔500指数和恒生指数的收益率均值几乎为零，虽然后者的值明显偏大一点。从标准差的值看来，两个指数的变化幅度也非常相近。通过对经验分布进行正态JB假设检验，两市的收益率都不服从正态分布，存在尖峰和厚尾现象。为了刻画厚尾特征，使用GED分布来描述收益率的分布。

3.3.2　边缘分布模型与估计

由于我国与美国存在13个小时的时差，并且在同一天内我国股市在收盘六个半小时之后美国股市才开盘，为考察美国股市对中国香港股市的影响，同时也为了去除交易时间的非一致性问题，本书对恒生指数进行滞后一天的调整，以保证中国香港股票市场的信息集不仅包括本地市场前一天的信息，也包括美国股票市场相同日历日的信息。

本书在建模时，边缘分布的波动方程采用EGARCH(1，1)－GED模型。该模型能描述收益序列的尖峰厚尾性、波动聚集性和杠杆效应，且具有无需限制参数和允许好坏消息的影响具有不对称的特征这两个优点。总的边缘分布模型形式如下。

其中，其中rt为t时期的收益，μ为收益的无条件期望，σ2t为t时期收益的方差，σt－1为t－1时期的标准差，εt为t时期的残差，It－1为t－1时刻的信息集，υ为自由度，μ、ω、α、γ和β均为待估参数，εt服从条件GED分布。

将指数收益数据代入到边缘分布模型中，采用极大似然估计法估计各指数收益序列对应模型的参数，具体的参数估计值见表3－2。

对条件Copula的建模要求边缘分布模型与真实的边缘分布模型存在尽量小的差别。如果误设边缘分布模型，则概率积分变换将不服从0－1均匀分布，任何Copula模型也将随之误设。为检验模型是否合适，本书也采用K－S检验进行检验，只有通过了该检验，所设定的边缘分布才是合适的。由表3－2的检验结果可见，对标准普尔500指数和恒生指数收益率的边缘分布模型均通过了K－S检验，从而说明本书设定的边缘分布模型是合适的。

表3－2　边缘分布模型的参数估计值

3.3.3　多变量模型的估计

为了进行对比，本书同时对演化方程(3.10)、(3.11)、(3.12) 和(3.8)进行了估计。方法是将上面经边缘分布模型拟合处理后的数据代入到时变t－Copula模型中，采用极大似然估计方法或者IMF方法可获得各演化方程的参数估计值，结果如表3－3所示。

表3－3　四种Copula的参数估计结果和拟合检验

注:LLF表示极大对数似然函数值，AIC为赤池信息准则(Akaike information criterion)，用于比较模型拟合的优劣，该值越小表明模型拟合效果越好。＊＊表示在5%显著性水平下显著，*表示在10%显著性水平下显著。

根据表3－3可得到如下结论。首先，从无论是极大对数似然函数值(LLF)还是赤池信息准则(AIC)的比较可知，本书给出的演化方程(3.10)、(3.11)和(3.12)比Patton(2006b)给出的演化方程(3.8)对数据的拟合效果相对来说要好，这说明对本书所研究的序列来说，方程(3.10)、(3.11)和(3.12)具有更好的拟合性能。

其次，演化方程(3.10)、(3.11)和(3.12)的各项参数在10%显著性水平下都显著，且相关系数的滞后项参数值都为正，历史累计项概率之差的参数值为负。这表示相关系数与历史相关性系数显著正相关，与历史累计项概率之差的绝对值显著负相关，与预期理论相符。因为历史相关性内在地反应了市场或资产之间的联系，只要市场不发生重大变化，这种联系就不会发生太大的变化，反应出来就是现在的相关性总是在历史相关性的基础之上有一些波动。而历史累计概率之差的绝对值越大，说明市场在过去的表现不一致就越显著，从而现在的相关性就会越小。

最后，演化方程(3.10)、(3.11)和(3.12)的极大对数似然函数值(LLF)和赤池信息准则(AIC)值相差很小，说明一方面这三个演化方程对数据的拟合效果都比较好，也是所提出演化方程合理性的一个证明。另一方面，三个模型的拟合值区别非常小，以至于可忽略不计，并且(3.11)和(3.12)所增加的参数在5%显著性水平下不显著，也说明滞后二阶，滞后三阶相关性的解释力度都很小，相对一阶滞后可以忽略。考虑到有效性，实际运用中可直接采用一阶滞后的参数演化方程(3.10)。

3. 4　本章小结

本书基于Patton提出的条件t－Copula时变参数的演化方程，结合Bartram，Taylor＆Wang给出的比较直观的时变高斯Copula演化方程，提出了三个采用同时包含自相关历史项和两个变量累积概率历史项之差的绝对值的演化方程作为时变t－Copula参数的演化方程，然后以标准普尔500指数和恒生指数的收益序列为对象对三个时变t－Copula的参数演化方程进行实证分析，并和Patton提出的条件t－Copula时变参数的演化方程进行比较。结果显示，相关性与其滞后项与历史累计概率差都有显著的关系，三个模型的拟合优度较好并且相近，拟合程度比Patton提出的演化方程稍好，这说明提出的三个时变t－Copula的参数演化方程都能较好地描述时变参数的变化规律，可用于构建时变t－Copula模型;而且滞后二阶，滞后三阶的相关性的解释力度相对一阶滞后来说明显偏小，甚至可以忽略，实际运用中可简化为一阶滞后的参数演化方程。