译述中国的第一部符号数学

自清朝雍正年间至鸦片战争前，清朝实行闭关锁国的政策，使得中西接触中断了一百多年，然而正是在这段时间内，西方科学技术取得了较大的发展，近代科学技术体系全面形成。作为译书的领头人物，伟烈亚力和李善兰对他们所译书籍的底本都是经过严格筛选的，即所用的底本须是选自西方各个科学领域内最新、最具影响的佳作。李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》和《代微积拾级》使得西方近代数学传入了中国，对后来中国数学的研究和教育发生了历史性变化，尤其是他们创立一些数学名词术语和数学表达系统，对西方近代高等数学的传入以及中国传统数学的变革起着重要的催化作用。

1.1859年，李善兰与伟烈亚力合译的《代数学》是中国第一部符号代数学著作^[16]

《代数学》共13卷，原书系英国数学家棣么甘（Augustus De Morgan，1806—1871）1835年初版的Elements of Algebra。卷首为“纲领”，论述了中西代数学的发展史，指出“欲明代数须先明数学，最重要者，分数小数之理。若未明，必先改求之，此代数之捷径也”^[17]。全书目录如下：

卷首

卷1：论一次方程

卷2：论代数与数学之记号不同

卷3：论多元一次方程

卷4：论指数与代数式渐变之理

卷5：论一次二次之义及二次方程之数学解

卷6：论极限及变数

卷7：论代数式之诸类并约法

卷8：论级数及未定之系数

卷9：论代数与数学之相等不同

卷10：论纪函数法

卷11：论合名法

卷12：论指数对数之级数

卷13：论用对数为算法之捷法

《代数学》大部分为初等数学内容（高等数学的相关内容主要是极限思想和级数理论），是我国第一部符号代数学读本，^[18]第一次向中国介绍了虚数的知识，数学符号如：×、÷、=、√、∴、∵、∞等。^[19]为了避免“＋”“-”与汉字“十”和汉字“一”混淆，取篆文的“上”“下”二字，即用“⊥”“丅”来表示加减运算及其符号，并且还可以表示负数的“负”，李善兰直接运用了这一点。^[20]直到清末的学堂正式开办起来后，“＋”“-”这些符号才得以广泛使用，并且沿用至今。^[21]而“×、÷、=、＜、＞、∵、∴等是从李善兰开始引进的。对一些西方符号，李善兰用汉字化字符与之对应，如他将26个英文字母用“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”10字天干取代A-J，并且用“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”12字地支取代K-V，最后剩下的X，Y，Z，W则代之以“天地人元”，希腊字母“α，β，γ，……φ，χ，ψ，ω”则用二十八星宿的名称代替（即角、允、氏等）。求和符号“∑”用“昂”代替。函数符号“f”用“函”表示，自然对数的底“e”用“讷”代替，即为代表对数发明者数学家纳皮尔（John Napier，1550—1617）。特别是微分符号“d”及积分符号“∫”，用“微”“积”两个字的偏旁“彳”“禾”表示。李善兰的符号系统很复杂，这就使得其生命力有限，后不断被修正，直到民国以后才不再使用。而对于数学专业术语的翻译，《代数学》的“序”中指出其规则：“立名有而例。一、题其事，若事非数学中所有，则可立新名。若除去数学中之旧名而用新名，则不便。盖未至得数不能知误与否，故不必尽去旧名而用新名也。二、用数学己立之名，而变意以广其用，亦即本旧意推广之，此在寻常事恒有之，欲为新物立名借旧物之略似者名之，是也。”^[22]

李善兰明确代数学只是数学一分支，他指出，“数学之恒用之名，代数中亦恒用之。而代数所推其法，胜于数学之意，究之代数与数学之法，大同小异，是为同宗之法，故即以数学之名名之，但用数学名，而仍如数学之意，则加数学二字。若代数新意不加，如加法，数学中不过以彼数加此数，而代数中仅一分仍同此意，故若无数学二字，当以代数新立之意命名之”^[23]。1859年冬，《代数学》刊行出版后受到知识界的热烈欢迎，销路颇好，甚至于有人认为“其书，代数学，固详备也矣，惜以活字摆印无多，久已告罄”^[24]。对后面的数学家也有很深的影响，例如华蘅芳及其弟子。《代数学》还由日本高杉晋作（Takasugi Shinsaku，1839—1867）和中牟田仓之助译传入日本，并且于1872年在日本翻刻出版。

2.1859年，李善兰与伟烈亚力合译的《代微积拾级》第一次把高等数学介绍进中国^[25]

《代微积拾级》共18卷，原书系美国数学家罗密士（Elias Loomis，1811—1889）1851年出版的Elements of Analytical Geometry and of the Differential andⅠntegral Calculus。全书有两个序言，其中一个是李善兰的自序，一个是伟烈亚力的序。李善兰在序言中介绍了中国传统数学，其中包含四元术与代数的异同、微积分、微积分发展史及其历史来源、微积分的数学含义及微积分求解的方法、微积分的数学应用和对罗密士及其《代微积拾级》一书的结构评价。他指出：“罗密士之天算名家也，取代数、微分、积分三术合为一书，分款设题，较若列眉嘉惠后学之功甚大，伟烈君亚力闻而善之亟睹求其书，请余其事译行中国，伟烈君之功在罗君下哉？是书先代数次微分次积分，由易而难，若皆级之渐升译既竣也，即名之曰《拾级》，时《几何原本》刊行之后一年也。”^[26]《代微积拾级》全书的卷1至卷9述代数几何，卷10至卷16述微分学，卷17、卷18述积分学。全书目录如下：

卷1：以代数推几何

卷2：作方程图法

卷3：论点、论线、论纵横轴法

卷4：论圆

卷5：论抛物线

卷6：论椭圆

卷7：论双曲线

卷8：诸曲线依代数式分类

卷9：论越曲线、摆线、对数曲线、螺线、亚奇默德螺线、双曲螺线、对数螺线

卷10：论函数微分

卷11：叠微分

卷12：第一次微系数解、论函数极大极小、求函数极大极小解法

卷13：越函数、指函数微分、对函数微分、圆函数微分

卷14：曲线义、用微分推曲线之四法、论极曲线之次切线、切线、论曲线及曲线之面积、曲线之体积诸微分、论极曲线及其面积之微分、论曲线之渐近线

卷15：曲率半径、渐伸线、渐伸线诸例、摆线理卷16：论一切曲线中诸理

卷17：总论、论各微分之积分、用级数求积分法、论弧线微分之积分、论合名微分之积分

卷18：用积分术令曲线改直线之理、求曲线面积、求曲面积、求曲线体积

由于《代微积拾级》是先讲解析几何（当时译为“代数几何”），然后讲微分、积分，先易后难，有如拾梯阶而上，所以被称为“微积拾级”。《代微积拾级》最重要的一点是它为中国带来了高等数学，这是第一本向中国传播西方高等数学的著作。^[27]在此书中，创立了第一个有330个英文数学名词及译名构成的对照表，把解析几何与微积分第一次传入中国。^[28]其中创译的代数、微分、积分、系数、椭圆、级数、常数、变数等，沿用至今，并传用于日本。^[29]《代微积拾级》在当时以难读著称，如梁启超所言：“李叔壬初译代数学已佚，其存者《代微积拾级》一依西人文法，不敢稍有变动，故极佶屈难读。”^[30]甚至连华蘅芳在初学时也不知其所云，故不乏对其诠释、重加演证的人。但《代微积拾级》出版后，“成为晚清书院和学堂里的微积分教材，可以说是最为经典的也是唯一的数学教材”^[31]。1874年重版时，发行了25000册，这在当时已经是个大数字了。^[32]《代微积拾级》也是日本数学家最早使用的微积分读本。日本著名数学史家三上义夫说：“第一次将欧洲数学引入日本的，肯定是李善兰和伟烈亚力翻译的罗密士的微积分。该书出版不久就传到了日本。”^[33]1872年，日本出版了福田半编译的《代微积拾级译解》，“这本书在当时比较流行，是学习西算的一个重要课本”^[34]。

李善兰和伟烈亚力合译的《代数学》和《代微积拾级》最后成为同文馆的数学教材。从同文馆的课表和题目^[35]中可以看出，其规定洋文算学生在第六年开始学习微积分，而汉文学生则是在第四年开始学习微积分，其将微积分作为教学的主要内容之一。此外，晚清书院中有将此采用为教材，如在1898年龙城书院课艺中有关于微分学和积分学的题目。^[36]由于具备中国传统数学文化的深厚底蕴，使得李善兰为数学在中国的传播和发展做出了基础性的带头作用，并且推动了数学研究及其发展。此外，李善兰与艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，依次介绍椭圆、双曲线、抛物线的几何性质。

圆锥曲线的知识从明末清初开始传入我国，早期传入的主要是椭圆知识。这一时期曲线的论说不详细、也不完备，其中主要以椭圆知识为主，而且主要保存在天文、机械、力学著作中，如《崇祯历书》《灵台仪像志》《远西奇器图说》等。圆锥曲线说的系统传入是伴随着西方变量数学传入中国而完成的。以李善兰翻译的《代微积拾级》和《圆锥曲线说》为标志，将圆锥曲线的知识包括内容和解析方法比较系统地传入我国。其中《圆锥曲线说》各款内容大部分与《代微积拾级》相同，但是《圆锥曲线说》是一部以纯几何方法论证圆锥曲线性质的著作，补充了《代微积拾级》中的解析方法。^[37]

《圆锥曲线说》3卷最早的版本是金陵版《重学》的附刊本，所据底本不详，关于翻译时间也有争议。李俨先生的“李善兰年谱”1859年记载：“又《圆锥曲线说》三卷，题艾约瑟口译，李善兰笔受的，当亦成于此时。”但是根据目前研究发现，此事应在1859年之后，如《圆锥曲线说》卷2第五款注：“详《代微积拾级》”，卷3第五款注：“此割线《代微积拾级》名次切线”，华蘅芳1892年《抛物线说》中的跋：“忆余二十岁时，阅《代微积拾级》，粗知抛物线之梗概，而《重学》中《圆锥曲线说》尚未译出也，以是知《圆锥曲线说》译成当在《代微积拾级》之后。”^[38]