风险投资收益的概率分布

8.2　模型的提出

8.2.1　假设及变量解释

某风险投资项目企业家EN拥有某项专利，但缺乏研究和发展（R＆D）所需要的资金，经评估筛选后风险投资家VC决定投资该风险投资项目^[1]。为控制风险，VC选择分阶段投资，且投资阶段与风险投资项目的发展阶段一致。

为构建模型方便，本章提出以下假设：

①不考虑VC资金不足和投资偏好问题，作为中止决策主体的VC是理性人^[2]，其将依据期望效用理论进行后续投资决策。

②风险投资项目在其发展过程中不产生中间收益。在投资阶段全部结束后，如果风险投资项目成功，则产生稳定的收益R；如果风险投资项目失败，则没有任何收益。

③风险投资项目成功所需的时间和投资水平是事先不确定的。

④VC在任何一个中止决策点都有大量投资其他风险投资项目的机会。

⑤VC和EN都是风险中性的，拥有共同的折扣率δ，且δ（0，1）。

⑥风险投资项目在失败情况下出现好信号的概率为零。

本章将风险投资项目最终的自然状态刻画为二项结构：成功S^[3]和失败F，即＝｛S，F｝。实证结果表明，VC是否作出中止决策与风险投资项目的成功概率相关^［95］。为进一步刻画风险投资项目的不确定性，我们引入风险投资项目的成功概率^［28］。令VC在初始投资时认为该风险投资项目是成功的这一事件的概率为α₀，即α₀＝P（S），α₀可看作VC认为该风险投资项目成功的初始概率^[4]（以下简称VC的初始概率），那么VC认为该风险投资项目失败的初始概率为1－α₀，即1－α₀＝P（F），其中0＜α₀＜1。

从理性分析的角度来看，后续投资的决策基础在于信息的获取。本章将在每个投资阶段（决策点）获取的信息分为好信号和坏信号两类，因此VC在每个投资阶段观察到二元信号s_t＝，其中t是投资阶段，是离散的，t＝0，1，…，T。以好信号为例，好信号出现的概率主要受内生因素和外生因素影响。内生因素包括VC的投资水平、风险投资项目的人力资本和有形资产等；外生因素包括国家宏观环境和产业政策等一些不确定因素。本章选取VC的投资水平作为影响好信号出现概率的内生因素。令p_t为第t阶段在风险投资项目成功条件下观察到好信号的概率，即p_t＝P｜S），显然好信号出现的概率p_t需要由第t阶段VC的投资水平c（p_t）决定，且p_t是投资水平c（p_t）的增函数。假定c（p_t）与p_t的线性关系为，即

其中c为产生好信号的边际成本。

令每一阶段观察到好信号的最大概率为p（0＜p＜1），当第t阶段观察到好信号的概率p_t∈（0，p］时，VC的投资水平是可行的。换言之，当VC的投资水平超过c（p）时，好信号出现的概率不会增加。

随着风险投资项目的发展，VC将逐步更新对风险投资项目前景的预期。如果VC在第t阶段观察到坏信号，则VC更新其对风险投资项目前景的认识。令α_t＋1为VC根据第t阶段观察到坏信号认为该风险投资项目成功的这一事件的后验概率。

8.2.2　VC后验概率的信号学习过程

根据贝叶斯公式可知，VC观察到坏信号的后验概率α_t＋1是其先验概率α_t和投资水平cp_t的函数，即

显然，随着时间的推移，风险投资项目仍没有成功时，后验概率α_t＋1呈下降趋势。另外，VC观察到坏信号的后验概率α_t＋1还可以表示为初始概率α₀和前t阶段序贯投资水平｛cp₀，cp₁，…，cp_t｝的函数，即

如果VC每阶段对风险投资项目的投资水平保持不变，即p_t＝－p，则后验概率α_t＋1是投资水平的减函数，即

在不同的投资水平下，VC观察到坏信号的后验概率α_t＋1的学习过程如图8－1所示。

图8－1　不同投资水平下后验概率的信号学习过程

定理8－1　VC的后验概率在观察到坏信号后随时间推移而下降，VC对风险投资项目的前景感到悲观，而且VC的后验概率下降的幅度随投资水平的增加而增大。

证明　由式（8－2）得α_t＋1随时间t的推移而降低，因此可知VC的后验概率在观察到坏信息后随时间推移而下降，VC对风险投资项目的前景感到悲观。从图8－1可以看出，VC的后验概率下降的幅度随投资水平的增加而增大。

从图8－1可以看出，投资水平p₁＜p₂，在有效边界点α^＊上，最优中止时机T_p1＜T_p2。显然，VC的投资水平越大，在风险投资项目没有成功的情形下，后验概率下降的越快，风险投资项目越容易中止。

另外，从图中还可看出：当VC对风险投资项目的前景认识较为确定时（即α_t＋1趋近于0或1时），其后验概率下降得较慢；相反，当VC对风险投资项目的前景认识较为模糊时（即α_t＋1趋近于时），其后验概率下降得较快。导致这种现象的直观原因是：当VC刚刚参与投资该风险投资项目时，一般认为该项目是优秀的，因此，VC对项目刚开始一段时间出现的坏信号不会太在意，后验概率下降幅度不会太大；但若失败时间较长，VC的后验概率α_t＋1将会加速下降，特别是当后验概率α_t＋1趋于0.5时，VC开始对其丧失信心，此时后验概率α_t＋1下降幅度增大。而到VC对其完全丧失信心以后，后验概率α_t＋1趋于零，则下降幅度减缓。一般不会下降到此阶段，因为在此之前，该项目可能已被VC中止。

8.2.3　基于风险投资项目价值的最优中止时机模型

对于风险投资项目而言，拥有初始概率α₀的项目价值的最大值是由最优投资水平和最优中止时机决定的。在VC的中止决策作出后，不会再有投资水平的延续。中止决策点可以描述为中止决策时的时间点T，也可以描述为中止决策时VC的后验概率α_T。对于给定的投资水平｛cp₀，cp₁，…，cp_T｝，根据贝叶斯法则和式（8－3），可以确定中止决策点T相对应的后验概率α_T。

令V（α_t）为第t阶段在VC最优投资水平下的项目价值，最优的投资水平可以通过动态规划理论获取，故首先考虑最优中止决策点的后验概率α_T。显然，项目价值必须不小于零，即VC从投资中获得的期望收益不小于投资成本^[5]，即

相反，如果VC从投资中获得的期望收益小于投资成本，即

那么，VC的最优决策是中止投资^[6]。由式（8－5）和式（8－6）可得中止决策的有效边界点

由式（8－7）可知，若要降低有效边界点α^＊，可增加固定收益R或者降低产生好信号的边际成本。

由于风险投资项目价值和观察到好信号的概率具有线性关系，如果最后一次投资发生在T，那么，VC的最优选择是使p_T＝p。因此，最后一阶段的风险投资项目价值的最大值为

风险投资项目价值可以通过下面的动态规划方程递推得到：

式（8－9）中VC的后验概率α_t＋1由α_t和第t阶段的投资水平cp_t决定，可由式（8－2）根据贝叶斯法则计算得到。式（8－9）表明了采取投资水平cp_t的当前价值和未来价值。增大投资水平cp_t，虽然直接导致了投资成本的增加，但是也增加了当前好信号出现的概率和本阶段的期望收益α_tp_tR。同时，1－α_tp_t也相应地减少了。如果风险投资项目在第t阶段在投资水平cp_t下仍未成功，则后验概率α_t＋1将继续下降，相应地产生风险投资项目的持续值V（α_t＋1）。同时式（8－9）也表明，在最后一阶段存在的项目价值与好信号出现概率p_T的线性关系。因此，只要VC的后验概率大于有效边界点α^＊，VC的最优选择是采取最大化投资水平cp，则可实现p_t＝p；否则，当VC的后验概率首次小于有效边界点α^＊时VC就中止投资。最优中止时机就是在VC采取最大化投资水平cp的情况下，后验概率不小于有效边界点α^＊的持续时间。因此，最优中止时机T^＊可以由下式给出：

式（8－10）中T为中止决策的时间点。显然，风险投资项目的最优中止时机T^＊取决于VC的初始概率α₀，即T^＊＝T^＊（α₀）。也就是说，最优中止时机T^＊为从参与投资时VC的初始概率α₀到后验概率首次小于有效边界点α^＊的时间间隔。可根据式（8－9）的递推问题得到有效的投资水平和风险投资项目价值的最大值。

定理8－2 ①VC的最优投资水平是最大化投资水平cp，在整个风险项目投资中，VC将始终保持这一水平，直到最优中止时机T^＊为止。②风险投资项目价值可由下式给出：

③风险投资项目的最优中止时机为

证明　假设VC对风险投资项目的投资水平开始于时间节点t，结束于时间节点T，分别记为｛cp_t，cp_t＋1，…，cp_T｝，根据式（8－9）风险投资项目价值可以通过折扣的方式表示为

令，根据贝叶斯法则，由式（8－2）可得

将式（8－12）和式（8－13）代入式（8－11），可得

若VC在第t阶段采取最优投资水平cp_t，则式（8－14）变为

显然，在式（8－15）中VT＊（α_t）和p_t呈线性关系。若要使式（8－15）取得最大值，则p_t＝p，即VC应采取最大化的投资水平cp，这是VC的最优选择。进而可知在每一个阶段VC都应采取最大化的投资水平直至中止投资。例如，像式（8－10）那样定义最优中止时机为T^＊，使p_s＝p，s＝t，t＋1，…，T^＊，则可以得到

当t＝0时，可得

VC是追求超额收益的，即风险投资项目价值必须大于零，中止时机为项目价值实现最大化的时机。将式（8－17）中的T＊用T替换，可将其写成一般形式，即

最优中止时机为

此外，为进一步理解定理8－2，下面对反映风险投资项目价值的公式（8－17）作进一步解释。

我们将式（8－17）分解成两部分：第一部分α₀p（R－c）·，表示VC在观察到好信号情形下的风险投资项目价值，折扣为δ（1－p）；第二部分（1－α₀）cp，表示VC在观察到坏信号情形下所付出的现金损失，折扣为δ。