网孔电流法和回路电流法

2.4节介绍了支路电流法。对于具有b条支路和n个节点的电路，要列（n-1）个节点电流方程和（b-n+1）个回路电压方程，方程较多，求解麻烦。如何减少变量的数目，从而减少待解的方程数目呢？

现在进一步考察支路电流这组变量。因为汇集每个节点的支路电流服从KCL的约束，其中一个支路电流可以用汇集到该节点的其他支路电流表示，因而不是独立的。对于具有b条支路和n个节点的电路，有（n-1）个独立的KCL方程，因而有（n-1）个支路电流是不独立的，所以独立的电流变量只有（b-n+1）个。平面电路独立电流的数目等于电路网孔的数目，一旦确定了这组独立的电流变量，电路的其他支路电流也就随之确定。

电路的独立电流变量数目是唯一的，但选取的方法可以是灵活的。满足下列条件的一组电流便可充当独立电流变量：

（1）电流变量数目等于（b-n+1）个或等于电路的网孔数（不包括外网孔）。

（2）足以唯一确定全部支路电流。

图2-15　网孔电流法示例

图2-15（a）为平面电路，支路电流的参考方向已标在图中，如果在电路的网孔中有假设的电流流动，如图2-15（b）所示，则这组假设的在网孔中连续流动的电流就称作网孔电流。这组网孔电流就是一组独立的电流变量。一是网孔电流的数目为（b-n+1）个；二是一旦网孔电流确定之后，所有支路电流都能被确定。比较图2-15（a）、（b），可以看到各支路电流为

显然支路电流都能用网孔电流来表示，这组网孔电流满足了独立电流变量的两个条件。

由于网孔电流对于网孔上的节点，一次流入，一次流出，自动地满足KCL方程，所以网孔电流只能用KVL方程来求解。下面以图2-15所示为例来推导以网孔电流为变量的KVL方程的最终形式。

对图2-15（a）所示电路，先以支路电流为变量列出KVL方程，回路的绕行方向与网孔电流的参考方向一致，则有

把式（2-28）代入式（2-29），即把支路电流换成网孔电流，整理得

式（2-30）是以网孔电流为变量的KVL方程，称为网孔电流方程。式（2-30）可写成下面的标准形式

式中：R11 、R22 、R33分别是网孔1、2、3的自阻，它们分别为网孔1、2、3中所有电阻之和，即R11 =R1 +R4 +R5，R22=R2 + R5 + R6， R33 = R3 + R4 + R6 ； R12和R21是网孔1和2间的互阻，R12 =R21 =R5；R13和R31是网孔1和3间的互阻，R13 = R31=-R4 ； R23和R32是网孔2和3间的互阻，R23 = R32 = R6 。

具有m个网孔的平面电路，其网孔电流方程的一般形式为

不含受控源的电阻电路Rkj = Rjk。网孔法只适用于平面电路。

例2-8　试用网孔电流法求图2-16所示电路的支路电流i1 、i2 、i3 。

图2-16　例2-8图

解　（1）在图中标出网孔电流im1 、 im2的参考方向。

（2）列网孔电流方程。

R11=20+60 =80（Ω），R22=40+60=100（Ω），R12 =R21 =60（Ω），uus11 =10-6=4（V），uus22 = 20-6=14（V），故网孔电流方程为

（3）用克莱姆法则求解，有

（4）规定支路电流的参考方向，如图2-16所示，则有

除了选取m个网孔电流作为独立电流变量之外，还可以选取l（l=b-n+1）个独立回路的电流作独立电流变量，称作回路电流法。回路电流的选取是灵活的，适用于平面电路，也适用于非平面电路。

图2-17中给出了两种不同的回路电流取法。回路电流法有类似于网孔电流法的一般公式

图2-17　两种不同回路电流的取法

回路电流法不仅适用于平面电路，也适用于非平面电路。特别是对含有独立电流源或受控电流源支路的电路，回路电流法比网孔电流法更方便。

例2-9　图2-18所示电路含有一个电流源支路，试列出其回路电流方程。

解　选取回路电流时，只让一个回路电流通过电流源支路，则此回路电流决定于电流源的源电流，是已知的。因此可删去该回路的KVL方程，避免引入电流源端电压这个未知量。对此电路，只让回路电流il3通过电流源is6，则il3 = is6，所以回路电流方程为

图2-18　例2-9图

例2-10　用回路电流法求图2-19所示电路的支路电流i1、i2和i3 。

解　（1）规定回路电流的参考方向，如图2-19所示，其中il3通过8A的电流源。

（2）把受控电压源当作独立源看待，列出初始回路电流方程，同时把受控电压源的控制量用回路电流表示。

图2-19　例2-10图

（3）通过代入已知量与合并同类项，得到最终回路电流方程为

（4）求解回路电流方程，得

（5）待求的支路电流为

综上所述，回路电流法的解题步骤如下：

（1）选定一组独立回路，指定回路电流的参考方向。

（2）写出回路电流方程：如果电路中有电流源与电阻的并联组合，先把它们等效变换为电压源与电阻的串联组合；如果电路中含有受控电压源，设法把控制量用回路电流表示，并把受控电压源看作独立电压源，列出初始回路电流方程，通过合并同类项，得到最终回路电流方程；如果电路中含有电流源支路，则另行处理，见例2-9和例2-10。

（3）解得回路电流后，指定支路电流的参考方向，由回路电流求得支路电流。