正弦交流电的表示法

观察与思考

测得某正弦交流电流的三要素分别是：有效值2A，频率50Hz，初相45°，由前一节的学习可知，根据正弦交流电的三要素就能写出其瞬时值表达式，为

同时，可画出其波形如图6－3－1所示。

图6－3－1　交流电i的波形图

解析式和波形图是正弦交流电的两种基本表示方法，它们都能完整地反映正弦交流电的三要素，但为了方便对同频率的正弦交流电进行加、减运算，本节还将学习矢量图表示法。

一、解析式表示法

用正弦函数式表示正弦交流电随时间变化的关系的方法称为解析式表示法。正弦交流电的瞬时值表达式就是交流电的解析式。其表达方式为

瞬时值＝最大值sin（角频率t＋φ0）

则电流、电压、电动势的解析式分别为

i＝Imsin（ωt＋φio）

u＝Umsin（ωt＋φuo）

e＝Emsin（ωt＋φeo）

【例6－3－1】　已知某正弦交流电压的解析式u＝311sin（314t＋60°）V，求这个正弦交流电压的最大值、有效值、频率、周期、角频率和初相位。

【解】　最大值　Um＝311V

角频率　ω＝314rad／s

周期　T＝1／f＝1／50s＝0．02s

初相　φ0＝60°

二、波形图表示法

用正弦曲线表示正弦交流电随时间变化的关系的方法，称为波形图表示法，简称波形图。如图6－3－2所示，图中的横坐标表示电角度ωt或时间t，纵坐标表示随时间变化的电流、电压和电动势的瞬时值。波形图可以完整地反映正弦交流电的三要素。

图6－3－2　正弦交流电的波形图表示法

提示：当通过波形图可以解读初相的正、负，如果波形图的起点在纵坐标的正方向即起点为正值，则初相为正；如果波形图的起点在纵坐标的负方向，即起点为负值，则初相为负。

几种常见正弦交流电的波形图如图6－3－3所示。

图6－3－3　常见正弦交流电的波形图
（a）φ0＝0；（b）0＜φ0＜π；（c）－π＜φ0＜0；（d）φ0＝π

提示：当通过波形图可以解读初相的正、负，如果波形图的起点在纵坐标的正方向即起点为正值，则初相为正；如果波形图的起点在纵坐标的负方向，即起点为负值，则初相为负。

【例6－3－2】请写出如图6－3－4所示正弦交流电的解析式。

图6－3－4　例6－3－2波形图

解：图（a），Im＝10A，φ0＝0，则其解析式为i＝10sinωtA

图（b），Um＝110V，φ0＝45°，则其解析式为u＝110sin（ωt＋45°）V

图（c），Em＝220V，φ0＝－120°，则其解析式为e＝220sin（ωt－120°）V

三、矢量图表示法

1．旋转矢量

旋转矢量是一个在直角坐标系中绕原点旋转的矢量，它是相位随时间变化的矢量，他是相位随时间变化的矢量。如图6－3－5所示，以坐标原点O为端点作一条有向线段，线段的长度为正弦量的最大值Um，旋转矢量的起始位置与x轴正方向的夹角为正弦量的初相φ0，它以正弦量的角频率ω为角速度，绕原点O逆时针匀速旋转。这样，在任何一瞬间，旋转矢量在纵轴上的投影就等于该时刻正弦量的瞬时值。旋转矢量既可以反映正弦交流电的三要素，又可以通过它在纵轴上的投影求出正弦量的瞬时值，因此，旋转矢量能完整表示出正弦量。

图6－3－5　正弦量的旋转矢量表示法

2．旋转矢量的起始位置

用旋转矢量表示正弦量时，不可能把每一时刻的位置都画出来。由于我们分析的都是同频率的正弦量，矢量的旋转速度相同，它们的相对位置不变。因此，只需画出旋转矢量的起始位置，即旋转矢量的长度为正弦量的最大值，旋转矢量的起始位置与X轴正方向的夹角为正弦量的初相φ0，而角速度不必标明。由此可见，一个正弦量只要它的最大值和初相确定后，表示它的矢量就确定。旋转矢量通常用大写字母上加黑点的符号来表示，如用Im、Um和Em分别表示电流矢量、电压矢量和电动势矢量。

3．有效值矢量表示法

【例6－3－2】已知正弦交流电压u＝110sin（ωt＋45°）V，正弦交流电流i＝10sin（ωt－30°）A，试画出它们的矢量图。

解：同频率的几个正弦量的矢量，可以画在同一图上，则画出电压与电流的矢量图如图6－3－7所示。

图6－3－6　正弦量的矢量图
（a）最大矢量；（b）有效值矢量

电压与电流的矢量图

由以上分析可知，正弦交流电可以用解析式、波形图和矢量图表示。解析式是正弦交流电常见的表示方法，波形图比较直观，它们都能完整地表示正弦交流电，但进行正弦量加、减运算时比较麻烦。矢量图是分析正弦交流电路的常用工具。

思考与练习

1．正弦交流电的表示方法有____、____、____。