波的能量与平均能流密度

在波动过程中，介质的各个质点只是在平衡位置附近振动，并不沿着振动传播的方向迁移。因此，波是振动状态的传播，不是物质本身的传播。当行波在介质中传播时，介质整体并不沿着波的行进方向移动，但远离波源的原来静止的介质后来也振动了，这说明行波伴随着能量的传播。

1．波的能量

波是振动在空间的传播，伴随着波形和相位的传播。在波的传播过程中，介质中质元不仅因为有振动速度而具有动能，而且因为发生了形变而具有弹性势能。上述动能和势能之和称为波的能量。波在介质中传播时，介质一层接一层地振动，因此能量逐层地传递出去。下面以平面简谐波为例来讨论。

设在密度为ρ的均匀介质中传播一列平面横波，其波动方程为

在介质中坐标x处任取一体积元ΔV，其质元质量Δm＝ρΔV。当波传播到这一体积元时，质元的振动速度为

动能为

可以证明，体积元发生形变而具有的势能为

体积元的总机械能为

式（13－3－2）表明，在波的传播过程中，任一质元在任何时候或任何振动状态下，动能与势能不仅相等而且是同步变化的，即动能达到最大值时势能也达到最大值（质元通过平衡位置），动能为零时势能也为零（质元到达波峰或波谷位置）。由图13－3－1可以看出：B点的相对形变最大，它的振动速度也最大，即弹性势能最大时，动能也达最大。又如A点或C点的体积元的相对形变为零，速度也为零，即弹性势能与动能同时为零。因而总机械能随着时间在发生变化，其值在零到最大值之间作周期性的变化。

图13－3－1 波传播时体积元的形变

这种能量关系与简谐振动的能量关系是完全不同的。对于无阻尼简谐振动，动能最大时势能最小，反之亦然，总的机械能是守恒的。造成这种差异的原因是，无阻尼简谐振动是一个孤立系统，它不与外界进行能量交换，振动一旦产生以后可以继续不断地维持下去。对波动中考虑的体积元来说，它不是一个孤立系统，在波的传播过程中，周围介质对这个体积元有弹性力作用，因此对这个体积元要做功，而且有时做正功，有时做负功。所以体积元在波的传播过程中不断地吸收和放出能量，总的机械能不守恒，是随时间变化的，随着波的振动状态的传播，能量也就向前传播出去。

通过以上分析，可得出以下两点结论。

（1）体积元的动能和势能相等，且都随时间同步变化，同时达到最大，同时达到最小。

（2）波动过程是能量的传播过程，每个体积元都好像一个能量“吞吐器”，不断地将能量从介质的前一部分“吞入”，“吐给”介质的后一部分。

单位体积介质中波的能量称为能量密度，用w表示：

由式（13－3－3）至式（13－3－5）可知，波的能量与介质密度、波的振幅平方及频率平方成正比。式（13－3－5）虽然是以平面简谐波为例导出的，但对其他形式的机械波也同样适用。能量密度的单位为J／m3。

2．平均能流密度

单位时间内垂直通过波的传播方向上某面积的能量称为通过该面积的能流，其方向就是波的传播方向。考虑在单位时间内通过垂直于波速u的面积S的能量，显然它等于体积uS中的能量，如图13－3－2所示。能流用P表示：

图13－3－2 平均能流

实际中多使用平均能流的概念。平均能流是指在一个周期内通过某面积能量的平均值，即

通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能流，称为平均能流密度，用I表示，即

平均能流密度越大，单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积的平均能量就越多，波就越强，所以平均能流密度是波的强弱的一种度量，因此又称为波的强度。声波的平均能流密度称为声强。

【例13－3】 一平面简谐声波的频率ν＝400Hz，在空气中传播速率u＝340m／s。已知空气的密度ρ＝1．21kg／m3，此波到达人耳的振幅A＝10－7 m，试求耳中声波的平均能量密度和声强。

解 由平均能量密度公式可得

其声强为