动生电动势

法拉第电磁感应定律表明，不论何种原因，只要穿过回路所围面积的磁通量发生变化，回路中就有感应电动势产生．实际问题中，使磁通量发生变化的方式是多种多样的，但最基本的方式只有两类：一类是磁场分布保持不变，导体回路或导体在磁场中运动而引起的感应电动势，称为动生电动势；另一类是导体回路不动，磁场随时间发生变化而引起的感应电动势，称为感生电动势．本节和下一节，我们分别讨论这两种电动势．

如图12.9（a）所示，在匀强磁场中，有一闭合回路abcd，ab边以速率v向右作匀速直线运动．由于导线和磁场之间的相对运动而在ab段产生感应电动势，为动生电动势．

下面由金属自由电子理论来推导动生电动势．

有电动势产生，就有相应的非静电力存在，产生动生电动势的非静电力是什么力呢？如图12.9（a）所示，当导体ab向右以v匀速运动时，导线内的自由电子也以速率v向右运动，电子受到的洛伦兹力为

式中-e为电子所带的电量．Fm的方向沿导线由a指向b，电子在洛伦兹力的作用下，沿导线由a端向b端移动，在导体回路中形成电流．显然，洛伦兹力就是动生电动势的非静电力．如果没有导体框架与导体ab相接触，如图12.9（b）所示，洛伦兹力驱使电子向导体b端累积，致使b端成负电端，a端则由于电子的减少而积累正电，成为正电端，从而在导体内形成静电场．此时电子还要受到静电场力Fe的作用，当静电场力Fe与洛伦兹力Fm相平衡时，a、b两端间便有稳定的电动势．可见，在磁场中运动的一段导体就相当于一个电源．

图12.9　动生电动势

由电源电动势定义，电源把单位正电荷经电源内部从负极移向正极的过程中，非静电力所做的功为电源电动势．这里，非静电场强就是作用在单位正电荷上的洛伦兹力，用Ek表示，则

由电源电动势定义式

当任意形状的导线在磁场中运动时，动生电动势为

积分遍及整个导线．若导线是闭合的，上式结果与法拉第电磁感应定律结果相同，若导线为非闭合，法拉第电磁感应定律不能直接使用，但上式仍成立．

无论是动生电动势还是感生电动势，都是由磁通量的变化引起的，都可以根据法拉第电磁感应定律计算电动势．式（12.6）为我们提供了另一种计算动生电动势的重要方法，可见，计算动生电动势有两种方法可供选择，下面我们通过例题来说明．

图12.10　例12.3图

例12.3　一根长为L的铜棒，在磁感强应度为B的均匀磁场中以角速度ω在与磁场方向垂直的平面内绕棒的一端O匀速转动，如图所示，求铜棒中的动生电动势．

解　法1：用电动势定义求解

虽然铜棒是在均匀磁场中运动，但旋转中铜棒上各处的线速度均不相同，需用积分法求解．

在铜棒上距O点为l处取一线元dl，规定其方向由O指向P，其运动速度的大小为v，显然v、B、dl相互垂直，该线元上的动生电动势为

把铜棒看成是由许多长度为dl的线元组成的，每一线元的线速度v都与B垂直，且v＝lω，由此可得铜棒上总电动势为

式中负号表明ε的方向与选取的线元dl的方向相反，即由P指向O，O端电势较高．

也可以这样确定电动势的方向，因为自由电子受到的洛伦兹力方向由O指向P，所以O端为正端，P端为负端，O端电势较高．

法2：用法拉第电磁感应定律求解

铜棒在转动中扫过的面积S为一扇形，设时间t内铜棒转过角度θ，扫过的面积为

通过扇形面积的磁通量为

由于θ＝ωt，所以

由电磁感应定律可得感应电动势大小为

显然，这一结果与第一种解法得到的结果完全相同．ε方向的判断也可同第一种解法．

图12.11　例12.4图

例12.4　直导线AB以速率v沿平行于长直载流导线的方向运动，AB与载流长直导线共面，且与它垂直，如图所示．设长直导线中的电流强度为I，导线AB长为L，A端到直导线的距离为d，求导线AB中的动生电动势，并判断哪端电势较高．

解　用电动势定义求解．

长直载流导线所激发的磁场是非匀强磁场，导线AB上各处的磁场大小不同．在导线AB上距长直载流导线x处取一线元dx，取其正方向由A指向B．该线元所在处磁感应强度的大小为

显然v、B、dx相互垂直，所以dx上的动生电动势为

由此可得AB导线上总电动势为

负号表示电动势的方向与选取的正方向相反，即由B指向A，A端电势较高．