熵值分析法理论及方法

在多指标评价问题中，权重的确定是重点也是难点，目前有很多确定权重的方法，大致可分为两大类:主观赋权法和客观赋权法。主观赋权法是专家根据各指标的重要性来确定权重，容易受专家主观意识的影响而带来偏差，并且不能反映各指标统计数据的相互关系;而客观赋权法中的熵值法是在客观条件下，由评价指标值构成的判断矩阵来确定指标权重的一种方法，它能尽量消除各因素权重的主观性，使评价结果更符合实际。

在信息论中，熵是系统无序程度的度量，它还可以度量数据所提供的有效信息量。信息熵越小，系统无序度越小，信息的效用值越大;信息熵越大，系统无序度越高，其信息的效用值越小。对于所讨论的n个方案m个评价指标的初始矩阵，利用熵值法计算各指标的权重，其本质就是利用该指标信息的效用值来计算的，效用值越高，其对评价的重要性越大。其计算步骤如下:

(1)构建n个样本m个评价指标的判断矩阵。

(2)将判断矩阵归一化处理，得到归一化判断矩阵B，B中元素的表达式为:

在实际决策中，评价指标通常分为越大越优越小越优两类，各类指标对优的相对隶属度计算公式分别如下。

越大越优型:

越小越优型:式(10-2)、式(10-3)中，xmax、xmin表示同指标下不同样本中最满意者或最不满意者(越小越满意或越大越满意)。

根据式(10-2)、式(10-3)可将评价指标特征值矩阵转换为其对优的相对隶属度矩阵式中，rij表示方案j指标i的特征值对优的相对隶属度。

(3)根据熵的定义，n个样本m个评价指标，可确定评价指标的熵为:

其中

其中0≤Hi≥1，为使lnfij有意义，假定fij=0;fijlnfij=0;i=1，2，…，m;j= 1，2，…，n。

(4)利用熵值计算评价指标的熵权:

(5)计算湖泊生态系统熵权综合健康指数。

各指标的归一化值和指标熵权确定后，代入式(10-7)，即可求得湖泊生态系统熵权综合健康指数。