内插建模法

7.3.2　内插建模法

1.曲面样条建模法

曲面样条函数采取自然边界条件可以获得任意阶光滑曲面，且通过每个节点，是一种典型的曲面内插方法，非常适用于基于离散地磁数据的地磁场建模。

根据曲面样条函数的特点，可建立如下地磁总强度T与位置(x，y)的关系式:

式中a₀，a₁，a₂，R i(i=1，2，…，n)为待定系数，，ε为调节曲率大小的经验参数。

若为上式赋予弹力，则附加弹性系数C_i的样条曲面方程组为:

式中待定系数为a₀，a₁，a₂，R_i(i=1，2，…，n)可通过解式(7-27)方程组获得，方程组的矩阵形式为:

A矩阵是一个对称矩阵，当参与建模的地磁点个数为n时，未知数的个数为n+ 3，当结点个数较多时，A矩阵将变得非常大，采用Householder变换法对系数矩阵A求广义逆A⁺，再求线性方程组的解。

若A为n×n实矩阵，存在n×n列的正交矩阵U和n×n行的正交矩阵V，σ_i(i= 0，1，…，p)为A的奇异值，∑= diag(σ₀，σ1，…σ_p)(P≤n－1)，且σ₀≥σ₁≥…≥σ_p，则A的奇异值分解为:

设U=(U₁，U₂)，其中U₁为U的前p+1列正交向量组构成的n×(p+1)矩阵; V=(V₁，V₂)，其中V₁为V中前P+1列正交向量组构成的n×(p+1)矩阵，则A的广义逆阵A⁺为:

如果矩阵A是非奇异矩阵，广义逆A⁺就是矩阵A的逆矩阵A^－。根据广义逆，则模型系数的解为:

2.多面函数建模理论

地磁总强度T反映的是地球内部的物质分布和地质结构，因此，T可以描述为位置(x_i，y_i)的函数。若以多面函数来表示，则地磁场模型为:

式中，a_i为模型系数，Q(x，y，x_i，y_i)为二次核函数，其中心在(x_i，y_i)处，T由二次式的和来描述。由于每个二次式均表示一个曲面，因此式(7-32)实质上是用多个曲面的和去逼近实际区域的地磁变化。

若有m个数据，选用其中n个建模，模型系数X=(a₁ a₂，…，a_n)^T，则式(7-32)的矩阵形式为:

其中A为m×n阶核函数矩阵。

模型系数X的解为: