光信号的非线性传播方程

在第6章中，我们讨论了光纤色散对光信号传播的影响。不过，那只是在线性光纤中进行的讨论。在本章以后的几节里，将同时考虑光纤的非线性和色散对光信号传播的影响。

1.光信号传播方程

由式（7.1.2），可将波动方程写成

式（7.2.1）是光信号在非线性介质中传播的基本方程。为便于求解这个方程，做如下几点假设：（1）设光纤是弱非线性的，即设，也就是说，方程中的非线性项被看成了一个微扰。这与实际相符合。（2）光电场偏振方向在传播过程中保持不变，这称为线偏振假设。虽然这个假设与光纤中光电场的实际情况并不完全符合，但以此假设为基础的标量模分析方法的结果是成功的。（3）设光信号是准单色的，即光信号的谱宽Δω远小于载波中心频率ω0。这也与实际相符合。例如，在1.55μm波段，ω0≈1.2×1015rad／s，而谱宽对于ps级脉冲也只有1012rad／s的数量级。

按照以上假设，可将方程（7.2.1）中的光信号E看成一个缓变的脉冲包络与一个快速振荡的光载波的乘积：

其中，E（x，y，z，t）是缓变的脉冲包络函数，ω0是载波中心频率，β0是相应的相位常数。与式（7.2.2）相似，方程（7.2.1）中的电极化强度也都分别看成一个缓变的脉冲包络与一个快速振荡的光载波的乘积：

对于非线性电极化强度PNL，这里只考虑中心频率ω0的贡献。

若考虑到电极化的时间滞后效应，应有

其中（ω）是（t）的傅里叶变换，E（x，y，z，ω－ω0）是脉冲包络函数E（x，y，z，t）的傅里叶变换：

非线性电极化强度为

为简单起见，设三阶非线性极化是瞬时的：

将式（7.2.2）代入式（7.2.7），可以发现，三阶非线性极化项中不仅含有原来的中心频率ω0项，还含有3ω0项。这个3ω0项的频率已不在光纤的低损耗波段，可以不予考虑。在只考虑中心频率ω0项时，非线性极化项可写成

其中是介电常数的非线性修正。

在频域中，传播方程（7.2.1）可写成

其中，k2＝ω2μ0ε0，n（ω）＝。令这里的A（z，ω－ω0）是z的缓变函数。将式（7.2.10）代入式（7.2.9），得

注意到A（z，ω－ω0）是z的缓变函数，可忽略其二阶导数，得

式（7.2.11）就是非线性单模光纤中的模式横向场方程是待求的相对于频率ω的纵向相位常数。式（7.2.11）与式（4.4.5）中的n的不同在于有一个非线性修正项Δn：

即

将式（7.2.13）与式（7.1.13）比较，可知

其中，n2的单位是m2／V2。

由于式（7.2.11）中的n2含有非线性修正项，通常用微扰法求解。

首先，忽略n2中的非线性修正项，令n（ω）＝n1，这样，式（7.2.11）就与用线偏振模方法求解的传播模完全相同，并解得相位常数β（ω）。对于单模光纤，Ψ（x，y）就是LP01模，但由于非线性效应，相位常数应β（ω）应有一个修正量，即

按照微扰论，可以证明

积分在光纤横截面上进行。将式（7.2.16）代入式（7.2.12），注意到＋β0≈2β0，得信号包络函数在时域的传播方程：

在ω0附近将β（ω）展开为泰勒级数：

其中Δω＝ω－ω。略去式（7.2.19）中高于三阶的项，代入式（7.2.18），得

对上式做逆傅里叶变换，也就是等价于用代替上式中的iΔω，略去β3项，得

为方便起见，引入非线性参数：

其中，n2的单位不再采用m2／V2，而采用m2／W，以便于测量。对于石英光纤，测量结果是n2≈2.6×10－20m2／W，而Seff是光纤的有效横截面积，其定义是

在1.55μm波段，常规单模光纤的Seff约在50～80μm2范围，大有效面积光纤的Seff可达120μm2以上。

将式（7.2.15）代入式（7.2.17），可将式（7.2.18）写成

这就是考虑到二阶色散的光信号非线性传播方程。如果考虑到三阶色散和光纤损耗，式（7.2.23）应改写为

式（7.2.24）是研究光信号在非线性光纤中传播畸变的基础，其中的α是由折射率虚部决定的光纤衰减常数。

由于色散和损耗都与传输距离有关，为便于求解，与前一样，引入本地时间

传播方程式（7.2.24）变换为

2.传播方程的数值解

传播方程（7.2.26）是一个非线性偏微分方程。除了一些特殊情形外，一般很难求得解析解，只能求得数值解。为简便起见，将方程（7.2.26）写成

其中，

称为微分算子，表征介质中的色散和损耗，而

称为非线性算子，表征传播方程中的所有非线性项。

现将光纤分成若干足够短的小段，考虑长为l的一小段。在z→z＋l区间积分式（7.2.27），得到其形式解：

其中，Nl＝－iγ2l是非线性相位。由于式（7.2.30）的中的D是关于T的微分算子，要求出长度为l的一小段光纤的输出信号，需要先对D做T→ω的傅里叶变换，即用iω代替，得其在频域的表示式

于是，长度为l的一小段光纤的输出信号可以用下式得到：

这就是说，先对非线性因子A（z，T）eNl做T→ω的傅里叶变换，得到其在频域的表示式，乘以因子eD（iω）l后再做逆傅里叶变换，就得到这一小段光纤的输出信号。再以此信号为输入信号，用同样的方法计算下一段光纤的输出信号。如此下去，直到算出整条光纤的输出信号。这种方法称为分段傅里叶法。

需要指出的是，分段傅里叶法存在误差，误差的大小与分段的长短有关，其数量级是l2／L，L是整条光纤的长度。