孔隙和孔喉的大小分布

天然孔隙介质中孔隙体和孔喉大小展布的数学表达式可以用不同的统计方法建立。常用的三种方法为：①对数－正态分布（无代表性）；②双峰分布（细和粗粒级）；③分形分布。孔隙地层中典型的累积孔隙体和孔喉大小分布如图2－52所示，孔隙地层中典型的双峰孔喉大小分布如图2－53所示。

图2－52　孔隙地层中典型的累积孔隙体和孔喉大小分布

图2－53　孔隙地层中典型的双峰孔喉大小分布

（1）对数－正态分布。对数－正态分布函数因为简单，所以一直被很多研究者使用：

式中：D——球体近似的孔隙直径（μm）；

　　　sd——标准偏差。

（2）双峰分布。一般来说，孔隙体和孔喉大小变化范围有限，大小分布可显示相当于孔隙介质中比率不同的孔隙体和孔喉的峰值数目。如果仅考虑细粒级和粗粒级两种颗粒，根据Popplewell等（1989）的理论，双峰分布函数可用于大小分布的数学表达式为：

式中：D——直径（μm）；

　　　f1（D），f2（D）——细粒级和粗粒级分布函数；

　　　w——细粒级比值。

实际孔隙介质中，最小和最大的颗粒直径是有限的，因此Popplewell等（1988，1989）用β分布函数来表示非正态的大小分布。为方便起见，用以下修正式表示β分布函数：

式中，x代表归一化直径，定义为：

Dmin和Dmax分别表示最小和最大直径，a和m是经验幂系数。

这种方法可以成功地用于由化学方式引起的地层伤害模型。

（3）分形分布。分形是用来对假定为自相似的不规则形状或型式（如岩石的孔隙）进行简便数学描述的一种概念。以不同分辨率测量出的孔隙大小分布可以用孔隙大小经验幂率函数来给以充分的描述。不同孔隙大小分布表达式可通过孔隙直径写为：

式中：D——孔隙直径（μm）；

　　　V——直径大于D的孔隙体积（μm3）；

　　　d——分形数（通常为：2＜d＜3）；

　　　e——欧氏空间维数（e＝3）；

　　　β——正常数。

对方程（2－52）积分，得出下列孔隙大小分布表达式：

式中：V0——积分常数。

孔隙大小的范围为Dmin≤D≤Dmax。这样，应用方程（2－53）得出以下总孔隙体积Vp：

当D＝Dmax时，Vp＝0，所以方程（2－54）变为：