指数平滑法预测销售量怎么算

综合指数_社会统计学

第二节　综合指数

一、编制综合指数的基本原理

1.编制综合指数的基本思路

综合指数是设法将各个个体的数量先综合以后再通过两个时期的综合数值对比来计算的总指数。在指数发展史上，最初的综合指数是把多个个体的数量简单加总后对比。例如，假设每千克大米的基期价格是2.0元，报告期价格是3.0元；每米棉布的基期价格是15元，报告期价格是17元。若采用简单综合法，则这两种商品的价格总指数为(3+17)/(2+15)=117.65%。但人们很快就认识到了这种方法的缺陷:①不同商品的价格不能直接相加，因为它们的计量单位不同，简单综合的结果受计量单位变化的影响；②没有考虑权数，忽视了各种商品重要性的差别。比如将大米价格由千克改为以吨计算，问题的实质未变，但两种商品的价格总指数却变化了。可见，简单综合法不能真实反映现象总体的变动程度。

总指数要综合反映多个个体构成的现象总体的数量变动，而这些个体的具体内容和度量单位不同(统计上称这些个体是不同度量的)，它们的数量不能直接加总。如不同商品的价格不能简单相加，销售量同样不能简单相加，但销售额是可以直接相加的。综合指数首先必须解决加总或综合的问题，即必须找到一种因素将各个个体的数量综合起来。编制销售量总指数时，由于各种商品的销售量不能直接加总，必须找一个因素将不同度量的销售量转化为同度量的、可加总的数值。对于销售量而言，这个起着同度量作用的因素就是各种商品的销售价格。因为通过价格可以将销售量转化为销售额，而各种商品的销售额都是加总的。价格在加总过程中客观上还起到了权数的作用。引入价格后各种商品的销售额加总得到销售总额，但是销售总额的变动反映的是销售量和价格共同变动的结果。为了测定销售量的变动程度，还必须设法让价格固定不变，即在计算基期销售总额和报告期销售总额时，均采用同一时间上的价格。

同样，编制多种商品的价格总指数时，各种商品的价格也是不同度量的，不能直接加总对比。表面上，价格的计量单位都是货币单位，但实际上价格总是指单位商品的价格，因此其计量单位总是随着商品的计量单位不同而不同的，如大米的价格是“元/千克”，棉布的价格是“元/米”。所以，对于不同使用价值、不同计量单位的商品，其价格也不能直接加总对比。只有与它们各自的销售量相乘，才能得到同度量的数值。其次，各种商品价格变动对价格总水平变动的重要程度究竟是多少，应该用它们的销售量来衡量。计算价格总指数时，引入销售量可解决了加总的问题，也起到了权数的作用。当然，为了只反映价格的变动，也必须使销售量固定不变，即在计算基期销售总额和报告期销售总额时，均采用同一时间上的销售量。

综上所述，编制综合指数的基本原理有两个要点:

(1)找到能够使全部个体的数量得以综合起来的因素。在指数理论中，这称之为同度量因素，因为它起着同度量化的作用，能够把不同使用价值或不同内容的数值转化为同度量的数值。同时，由于它具有权衡各个个体重要性的作用，所以通常也称之为综合指数的权数。相应地，引入了同度量因素的综合指数通常被称为加权综合指数。事实上，由于简单综合指数在理论上存在明显的不足，所以一般所讲的综合指数都是指加权的综合指数。

(2)固定同度量因素。其目的在于使在两个不同时间(或空间)上的综合总量对比的结果，只反映指数化指标的变动，而不受同度量因素(权数)变动的影响。

2.同度量因素的确定及综合指数的基本公式

由上述分析可知:编制综合指数的关键在于加权即确定同度量因素。怎样确定同度量因素呢?主要应从下述几个方面来考虑。

(1)根据现象之间的内在联系来选择作为同度量因素的指标

指数的计算要有实际经济意义，同度量因素就必须要与所测定的指数化指标有内在联系，即两者相乘要有实际经济意义，而且不同个体的这种乘积是同度量的、可加总的数值；作为权数，同度量因素要恰如其分地反映各个个体的重要性，也要求它能够反映指数化指标变动给有关现象所带来的实际影响。

许多社会经济现象可以分解为两个因素的乘积，其中一个因素是数量指标q，另一个因素是质量指标p，如

商品销售额(qp)=销售量(q)*销售价格(p)

产品总产值(qp)=产量(q)*出厂价格(p)

总成本(qp)=产量(q)*单位成本(p)

社会保障缴费额(qp)=缴费人数(q)*缴费额(p)

根据这种关系，编制数量指标指数时，同度量因素是一个与之对应的质量指标p；反之，编制质量指标指数时，同度量因素是一个与之对应的数量指标p。可见，数量指标q和相应的质量指标p互为同度量因素，两者的乘积(qp)常常是一个价值量指标。

(2)同度量因素的确定还要取决于指数分析的目的

计算产品产量综合指数时，通常根据“总产值=产量*出厂价格”这一关系，以产品的出厂价格作为同度量因素。另外，根据“社会保障缴费额=缴费人数*缴费额”这一关系，也可以用缴费人群的单位缴费额作为同度量因素。有时，同度量因素不止一个时，到底选择哪一个，应视具体研究目的而定。

(3)同度量因素所属时间的确定

从理论上讲，只要同度量因素均采用同一时间上的水平，可以是基期、报告期、或者其他时间，基期和报告期两个时间的综合总量对比的结果就都能反映指数化指标的变动程度。但是对同度量因素所属时间的选择不同，不仅是所计算的数值有差异，而且指数所表示的经济意义也略有不同。总的来说，同度量因素固定在什么时间，应该视研究目的、指数化指标的性质以及有关指数之间的平衡关系等要求而定。

以I表示总指数，q、p分别代表数量指标和质量指标，下标1和0分别代表基期和报告期，下标m表示同度量因素所属的时间(m=0、1或其他)。I_q和I_p分别表示数量指标总指数和质量指标总指数，则综合指数的基本公式可写为:

I_q=∑q₁p_m/∑q₀p_m　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13.1)

I_p=∑p₁q_m/∑p₀q_m　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13.2)

正因为对同度量因素所属时间(m)的选择不同，才由综合指数的基本公式衍生出了多个不同的指数计算公式，其中最主要、最常用的是拉氏指数和帕氏指数。

二、拉氏指数和帕氏指数

1.拉氏指数

德国经济学家拉斯贝尔斯(E.Laspeyres)1864年提出了把销售量固定在基期的价格指数，该方法后来被推广到其他各种综合指数的计算，习惯上把同度量因素固定在基期水平上(m=0)所编制的综合指数统称为拉氏指数。拉氏数量指标综合指数I_q和拉氏质量指标综合指数I_p的计算公式分别为:

I_q=∑q₁p₀/∑q₀p₀　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13.3)

I_p=∑p₁q₀/∑p₀q₀　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13.4)

由于数量(如销售量)q的变化，引起综合指数(销售额)增长为∑q₁p₀－∑q₀p₀；由于质量(如物价)p变化引起综合指数(销售额)的变化为∑p₁q₀－∑p₀q₀。

2.帕氏指数

德国经济学家帕歇(H.Paasche)1874年提出以报告期物量加权来计算物价指数。这种方法也被广泛应用于其他各种综合指数的计算。所以，统计上把同度量因素固定在报告期所计算的综合指数称为帕氏指数。帕氏数量指标综合指数I_q和帕氏质量指标综合指数I_p的计算公式分别为:

I_q=∑q₁p₁/∑q₀p₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13.5)

I_p=∑p₁q₁/∑p₀q₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13.6)

由于数量(销售量)q变化，引起综合指数(销售额)的增长为∑q₁p₁－∑q₀p₁；由于质量(物价)p变化引起综合指数(销售额)的变化为∑p₁q₁－∑p₀q₁。

［例13.1］某公司三种商品基期和报告期的销售量和价格资料见表13.1，试求这三种商品的拉氏销售量指数和价格指数，帕氏销售量指数和价格指数。

表13.1　　　　　　　　　　某公司三种商品的销售资料

拉氏销售量指数:I_q=∑q₁p₀/∑q₀p₀=250000/220000=113.64%

拉氏价格指数:I_p=∑p₁q₀/∑p₀q₀=242000/220000=110.00%

计算表明，报告期与基期相比，该公司三种商品的销售量平均增长13.64%，该公司三种商品的价格平均上升了10.00%。

在拉氏销售量指数计算中，分母是基期实际销售总额，而分子是一个假定的销售总额。113.64%是两个销售总额对比的结果，反映了各种商品销售量的综合变动程度。同时可反映销售量变动对销售额的影响，即按基期价格来计算，由于销售量变动使销售额增加13.64%，或由于销售量变动而使销售额增加的绝对数额为

∑q₁p₀－∑q₀p₀=250000－220000=30000(元)

在拉氏价格指数计算中，分母同样是基期实际销售总额，但分子是另一个假定的销售总额。由于各种商品的销售量都固定在基期水平上，上述两个销售总额的差异程度就等于各种商品价格的综合变动程度。这结果也反映了价格变动对销售额的影响，即按基期销售量来计算，由于价格变动使销售总额增加10.00%，或由于价格变动而使销售额增加的绝对数额为

∑p₁q₀－∑p₀q₀=242000－220000=20000(元)

根据表13.1的资料，可计算这三种商品的帕氏销售量指数和价格指数分别为:

I_q=∑q₁p₁/∑q₀p₁=274000/242000=113.22%

I_p=∑p₁q₁/∑p₀q₁=274000/250000=109.60%

与拉氏销售量指数计算结果的分析类似地，由上述计算结果可知，按报告期价格来计算，由于销售量变动使销售额增加13.22%，或由于销售量变动而使销售额增加的绝对数额为

∑q₁p₁－∑q₀p₁=274000－242000=32000(元)

帕氏价格计算结果表明，报告期与基期相比，该公司三种商品的价格平均上升了9.60%。按报告期销售量来计算，由于价格变动使销售额增加9.60%，或由于价格变动而使销售额增加的绝对数额为

∑p₁q₁－∑p₀q₁=274000－25000=24000(元)

3.拉氏指数和帕氏指数的比较

拉氏指数将同度量因素固定在基期水平上(qp以基期数值为权数)，在定基指数数列中，各期指数不受权数结构变动影响，因而可比性更强。帕氏指数将同度量因素固定在报告期水平上(即以报告期数值为权数)，无论是在定基指数数列中还是在环比指数数列中，权数结构都会随报告期而改变，因而会使各期指数的可比性受到影响。

实际应用中，数量指标指数的计算较多采用拉氏指数公式，而质量指标指数的计算较多采用帕氏(派氏)指数公式。以下本文的讨论中，都按该公式为准。即:

I_q=∑q₁p₀/∑q₀p₀　　　　　　　　(13.7)

I_p=∑p₁q₁/∑p₀q₁　　　　　　　　(13.8)

于是可以构成综合指标体系如下:

∑p₁q₁/∑p₀q₀=I_p*I_q=(∑p₁q₁/∑p₀q₁)*(∑q₁p₀/∑q₀p₀)　　　　(13.9)

∑p₁q₁－∑p₀q₀=I_p－I_q=(∑p₁q₁－∑p₀q₁)+(∑q₁p₀－∑q₀p₀)　　　　(13.10)

根据这两个公式，使用表13.1的资料，可计算这三种商品的综合指标指数为:

274000/220000=(274000/250000)*(250000/220000)

1.2454=1.0960*1.1364

274000－220000=(274000－250000)+(250000－220000)

54000=24000+30000

报告期的销售额比基期销售额增加24.54%，即5.4万元，其中由于销售量的增加使得销售额提高9.60%，增加2.4万元，由于价格因素使销售额提高13.64%，增加3.0万元。这实际上就是指数体系和因素分析的具体内容了。

三、其他形式的综合指数

1.马埃指数和理想指数

在统计指数理论中，一般认为拉氏指数存在高估实际变动程度的倾向，而帕氏指数则相反，因此产生了将拉氏指数和帕氏指数进行折中的多种指数计算公式。其中最主要的有马埃指数和理想指数。

(1)马埃指数

马埃指数是1887～1890年间英国学者马歇尔和埃奇沃思两人提出的，它将同度量因素固定在基期和报告期的平均水平，其具体计算公式为

p_m=(p₀+p₁)/2；q_m=(q₀+q₁)/2　　　　　　　　　　(13.11)

计算空间指数时，理论上要求对比基准互换前后的两个指数应该是互为倒数的关系。例如，比较A和B两个地区物价水平的差异程度时，如果说A地区价格水平是B地区的200%，那么B地区价格水平就应该是A地区的50%。但是，无论是对拉氏指数还是对帕氏指数，对比基准互换前后的两个指数之间都不存在上述倒数关系。而采用马埃指数就可以解决这种矛盾，它将同度量因素固定在两个对比空间的平均水平上，不受对比基准地区选择的影响。所以马埃指数在空间对比分析中有着重要的应用价值。

(2)理想指数

理想指数是帕氏指数和拉氏指数的几何平均数。费希尔论证了该指数具有优良的性质，称之为理想指数，故该指数也称为费希尔指数，其计算公式为

无论是马埃指数，还是理想指数设想很好，计算麻烦，因此实际应用很少，这里从略。

2.杨格指数——同度量因素固定在特定时间

英国学者杨格(A.Yaung)提出一种将同度量因素固定在特定时间的指数计算公式，故该指数也称为杨格指数。在该指数中，同度量因素既不固定在基期，也不固定在报告期，而是固定在某个特定时间(m=n)。在我国几十年的统计工作中，物量指数、物价指数的计算就采用了这种方法，即作为同度量因素既不是基期，也不是报告期，而是某一年份(如1980、2990、2000或2010年等)的不变价格和不变构成。