3.5.1 正交试验设计
正交试验设计(Orthogonal Experimental Design)［100］是研究多因素多水平的一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法，它是一种高效率、快速、经济的试验设计方法。日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。例如做一个三因素三水平的实验，按全面试验要求，需进行3^3=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。若按L9(3^3)正交表安排实验，只需做9次，按L18 (3^7)正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。因而正交试验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用，如计算机科学和密码学，工业、农业、质量控制和产品改进等。
图3.9 粒子到群质心距离的最大、最小和平均值的变化曲线
正交表是一整套规则的设计表格，用Ln(t^c)表示，L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。例如L9(3^4)，它表示需做9次实验，最多可观察四个因素，每个因素均为三个水平，如表3.6所示。一个正交表中也可以各列的水平数不相等，称它为混合型正交表，如L8(4×2^4)，此表的5列中，有1列为四水平，4列为水平。根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，…，Sj组成，这些数码均各出现n/S次，例如表3.6中，第二列的数码个数为3，S=3 ，即由1，2，3组成，各数码均出现9/3=3次。
正交表具有以下两项性质。
(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的;在三水平正交表中，任何一列都有数码“1”、“2”、“3”，且在任何一列中它们出现的次数均相等。
(2)任意两列中数字的排列方式齐全而且均衡。例如在两水平正交表中，任何两列(同一横行内)有序对共有四种:(1，1)、(1，2)、(2，1)、(2，2)。每对出现次数相等。在三水平情况下，任何两列(同一横行内)有序对共有9种:(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)，且每对出现次数也相等。
以上两点充分体现了正交表的两大优越性，即“均匀分散性”，“整齐可比”。通俗地说，每个因素的每个水平与另一个因素各水平各碰一次，这就是正交性。
表3.6 四因素三水平正交设计表
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