正交试验组数与因素水平关系

在医学科学研究中，经常要分析多个因素对某个指标的影响。如果观察的指标是计量的，且可能的影响因素具有几个水平，那就可以考虑用正交试验设计（orthogonal　experimental design）及其方差分析。正交试验设计及其方差分析的优点有设计简单，计算简便，因节省实验单元而统计效率高。

1．一些基本概念

（1）因素（因子）和水平：因素即前所述的处理因素，指人为施加的或专门进行观察的对实验结果或观察指标的影响因素，简称为因素，而各因素的不同状态就称为水平。

（2）主效应和交互作用：每个因素对观察指标的影响称为主效应，一项研究工作有几个影响因素就有几个主效应。在实际工作中，常遇到这样的情况，因素A处在不同水平时，因素B的作用明显不同。这就是说存在交互作用。在医学中两种药物同时使用时出现的协同作用和拮抗作用就是交互作用。两种因素间的交互作用称一级交互作用，3种因素间的交互作用称二级交互作用。

（3）正交试验符号说明：在正交试验中常用符号来说明设计的类型。如L4（23），L8（27）等。符号L代表正交表（orthogonal　layout），L的下标代表试验次数，括号内的底数是因素的水平数，指数是因素个数（即列数或最多能安排的因素个数）。因此，L4（23）是指最多可安排3个两水平的因素要作4次试验的正交表，L8（27）是指最多可安排7个两水平的因素要作8次试验的正交表。

表6－1　L4（23）正交表

（4）正交表：是作正交试验设计的主要工具，如表6－1。它是利用一套规格化的表格使试验的每个因素及水平得以合理的安排，通过对试验结果的分析，获得有用信息。

在这张L4（23）正交表中有3列，意即最多可对3因素做试验。表中的1、2表示试验因素的水平，试验号中最大为4，意即要做4次试验，在1号试验中，第1，2，3列所安排的因素均取1水平；在第2号试验中，第1列所安排的因素取1水平，第2，3列的因素均取2水平；在第3号试验中，第1，3列取2水平，第2列取1水平；在第4号试验中，第1，2列取2水平，第3列取1水平。

正交表有两个明显的特点：每一列中出现数字1和2的次数相等；对任意2列，同一横行的数字呈有序的数对。在两水平正交表中数对共有4种：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）。每种数对出现的次数相等。

（5）交互作用表。对应于每一张正交表都有一张交互作用表，如L4（23）的交互作用表（表6－2）。

从该交互作用表可知，第1，2列的交互作用在第3列，第1，3列的交互作用在第2列，第2，3列的交互作用是第1列，也就是说在L4（23）正交表中，任意2列（所安排的2个因素）的交互作用就表现在其余的一列上。

表6－2　L4（23）交互作用表

因此，如果在L4（23）正交表中，第1列安排A因素，第2列安排B因素，若A因素和B因素存在交互作用的话，那就表现在第3列上。所以在这种情况下就不能在第3列安排第3个因素了，如果在第3列上安排了因素C，那么第3列既是因素C的主效应，又是因素A和B的交互作用，必然产生效应的混杂（confounding），致使既无法分析因素C的主效应，又无法分析因素A和B的交互作用。而如果A因素和B因素间不存在交互作用，那么第3列就可考虑安排因素C，当然第3列也可“空着”，分析中可作为误差的计算来源。

2．表头设计　根据分析的要求，选用合适的正交表，把各个因素安排在正交表的各列的过程就称为表头设计。例如要研究因素A和因素B（都是两水平）的作用，同时要研究它们之间的交互作用，如果选用L4（23）正交表，把因素A安排在第1列，因素B安排在第2列，第3列便是因素A和B的交互作用（用A×B表示）。表示方式如下。

试验号　　　1　　2　　3

因素A　B　A×B

这样的表头设计，虽然把因素A和B的主效应及它们的交互作用A×B都安排好了，但在做方差分析时会遇到困难。因为在无重复的正交试验设计中，只能从空列中获得误差均方的估计，也就是说在做表头设计中必须留出一列或多列，以求得误差均方。本例中3列已安排满了，没有空列，因此要重新设计，改用更大的正交表L8（27）或仍用L4（23）正交表但增作重复试验——每一号试验都做2次或3次。

又如要研究A，B，C三个因素的主效应和交互作用A×B及A×C，如果这3个因素都是两水平的话，就可选用正交表L8（27），首先把因素A和B安排在第1，2列，再看L8（27）交互作用表（表6－3）。

表6－3　L8（27）交互作用表

从表6－3可知第1，2列的交互作用表现于第3列，第3列可用于分析交互作用A×B，不能安排因素C。如果把因素C安排在第4列，那么交互作用A×C（第1，4列的交互作用）在第5列，和前面的因素安排不会产生效应的混杂，因此得表头设计为

列号　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7

因素A　B　A×B　C　A×B

第6列，第7列是空列，可用于估计抽样误差。

3．正交试验的基本步骤

（1）拟定影响观察指标的因素及水平。根据分析目的及相关专业知识确定。

（2）选择恰当的正交表。结合分析的因素、水平及试验次数而定。选择时要先看水平数；根据试验要求决定试验次数，试验要求精度高时选试验次数多的正交表；分析交互作用的存在情况；考虑统计分析的需要。非重复的正交试验至少要空一列，以便估计误差。

（3）根据要求分析的主效应和交互作用项目做表头设计。所用正交表及交互作用表见附表三。

（4）按设计要求进行试验，收集数据。

（5）做方差分析。

例6－17　某研究者以大白鼠做试验，观察指标是细胞色素B5（nmol／mg），主要想了解正氟醚的作用，同时要看一下用生理盐水和用戊巴比妥作为诱导药物对正氟醚的毒性作用有何影响，以及不同诱导剂对不同性别大白鼠作用有何不同，试作正交试验设计及分析。

根据题意，先拟定因素和水平。

因素A：1水平（A1）：生理盐水　　　2水平（A2）：戊巴比妥

因素B：1水平（B1）：不用正氟醚2水平（B2）：用正氟醚

因素C：1水平（C1）：雄性大白鼠2水平（C2）：雌性大白鼠

根据要求，除了要分析因素A，B，C的主效应外，还要分析交互作用A×B，A×C。

本例是一个两水平的试验，分析的交互作用有两个，主效应有三个，显然L4（23）正交表是不够用的，可选用L8（27）正交表，做表头设计如下。

列号　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7

因素　　A　　B　　A×B　　C　　A×C

虽然，由L8（27）交互作用表可查出第6列可安排交互作用B×C，第7列为交互作用A× B×C，但因试验无重复，如都安排完了就不能再计算误差。因此考虑到B、C间和A、B、C间无交互作用或交互作用不重要，可作为空列，所得离均差平方和可当作误差做方差分析。故第6、7两列都作为误差估计列。整个试验按表6－4安排进行。

表6－4　正氟醚及诱导药物对细胞色素B5影响的设计

在正交试验中，每一次试验都必须严格按照设计方案进行。如上例的8次试验中，第一次试验应取A、B、C因素的1水平，即A1，B1和C1；第二次试验应取A1，B1，C2；第三次试验应取A1，B2和C1……所得数据列于表的右侧，用以方差分析。