离散系统的零极点分析

3．4　离散LTI系统的零极点分析

要进行离散系统的零极点分析首先要了解传递函数的概念。传递函数法是用两个z域上的多项式之商来表示数字滤波器，这是表示线性系统的最基本方法之一。传递函数的表达式为

其中b(1)， b(2)， …， b(M+1)和a(1)， a(2)， …， a(N+1)为滤波器系数，k为一常系数，称为增益系数。在MATLAB中，一个滤波器用两个行向量

b =(b(1)， b(2)， …， b(M+1))，

a =(a(1)， a(2)， …， a(N+1))　

来表示，其中b和a没有除1之外的共同常数因子。

若滤波器函数

满足H(z₀)=0，则称z₀为其零点;若其满足，则称z_p为函数的极点。函数的零极点图绘出了函数的各个零点和极点。在零极点图上，零点以“○”表示，极点以“× ”表示。如果函数包含有重根，或者重极点，比如(x－a)ⁿ形式的方程求解所得结果，在零极点图上，在各点的附近用函数中重根个数标示。

MATLAB工具栏提供了函数zplane，zplane可用来显示离散系统的零极点图。函数zplane(b， a)自动设定坐标刻度，以便绘出所有的零极点。函数中， a和b为行向量， zplane首先利用函数找出由分子系数和分母系数构成的传递函数的极值点，然后再绘出零极点。若a和b为列向量，则直接画出以a中元素为零点，b中元素为极点的零极点图。

例3.11　一系统在－0．5处有一个零点，同时有一对复极点，画出其零极点图。

得到的零极点图如图3-13所示。

例3.12　考虑一个利用传递函数法表示的滤波器

画出其零极点图。

在MATLAB中输入:

＞＞b =［1－1．6 0．65－0．05］ ;

图3-13　例3．11零极点图

＞＞a =［1－7．3 12．1－3］ ;

＞＞zplane(b， a)

图3-14　例3．12零极点图

得到H(z)的零极点图如图3-14所示。

例3.13　把下面的传递函数表示成因子乘积的形式，并画出它的零点及极点:

我们利用下面的MATLAB程序来执行因子化，并画出其零极点图。

zplane(num， den)

运行上述程序并输入分子系数向量［2 16 44 56 32］和分母系数［3 3－15 18－12］向量得到:

其零极点图如图3-15所示。

图3-15　例3．13零极点图

例3.14　设一个传递函数的零点在

δ₁=0．21， δ₂=3．14，

δ₃=－0．3+0．5j， δ₄=－0．3－0．5j，

极点在

η₁=－0．45， η₂=0．67，

η₃=0．81+0．72j， η₄=0．81－0．72j，

并且其增益系数k为2．2。求该传递函数的分子和分母系数，并画出其零极点图。

MATLAB方法如下:

运行上述程序并按要求输入零点向量、极点向量及增益系数得到:

其零极点图如图3-16所示。

图3-16　例3．14零极点图