夫琅禾费单缝衍射

平行光通过狭缝的夫琅禾费衍射，在实际应用中有很重要的意义。如图15－2－1（a）所示，S是点光源，L1与L2为透镜，K是宽度为a的矩形狭缝，并且缝的宽度远小于缝的长度，E是接收屏。S置于L1的焦平面上，E置于L2的焦平面上。光源S发出的光经L1后成为平行光，过狭缝K经L2在屏上得到它的像。由于衍射的存在，得到的是图15－2－1（b）所示的衍射图样。衍射图样是与狭缝平行的条纹，中央明纹最宽、最亮，其他条纹对称地分布于中央明纹的两侧，向波阵面受限制方向扩展。

图15－2－1 夫琅禾费单缝衍射实验装置

下面用菲涅耳半波带法来分析产生明暗条纹的条件。

设单缝K的宽度为a（如图15－2－2所示的AB），按照惠更斯－菲涅耳原理，AB上各点都可以看成是新的波源，它们发出的子波到达空间某处时，会叠加产生干涉。显然每一子波源发出的光线有无穷多条，每个可能的方向都有，这些光线都称为衍射光线，各方向的平行衍射光与原入射方向间的夹角φ称为衍射角。平行衍射光束经过透镜L2后，会聚于焦平面E上的不同位置处，由于各平行光间有干涉作用，因而在屏幕上形成明暗相间的衍射条纹。

首先考虑沿入射方向传播的衍射光线1，如图15－2－2所示，这些衍射光线经透镜会聚于焦点P0。由于AB是同相面，所以这些衍射光的相位是相同的，它们经透镜后不会引起附加的光程差，所以它们在P0点会聚时仍保持相同的相位，因而互相加强。这样，在焦点P0处出现明条纹，称为中央明纹。

图15－2－2 单缝衍射条纹的位置

图15－2－3 菲涅耳半波带法

综上所述，当平行单色光垂直单缝入射时，单缝衍射明暗条纹的条件为

式中，k为级数，“±”表示衍射条纹对称分布于中央明纹的两侧。

必须指出，若对应于某个衍射角φ，AB不能分成整数个半波带，则屏幕上的对应点将介于明暗之间，因而在单缝衍射条纹中，强度的分布并不是均匀的。如图15－2－4所示，中央明纹最亮，而各级明条纹的亮度随着级数的增大而迅速减小。这是因为φ角愈大，AB波面被分成的半波带数愈大，每个半波带的面积也相应减小，透过来的光通量亦相应减小，因而从未被抵消的半波带上发出的光在屏幕上产生的明条纹的亮度愈弱。

图15－2－4 单缝衍射光强分布

因为屏幕处在透镜的焦面上，由图15－2－2可见，在衍射角很小时，tanφ≈sinφ≈φ，于是φ与透镜焦距f以及条纹在屏上距中心P0的距离x之间的关系为

应用式（15－2－1），第一级暗纹距中心P0的距离为

故中央明纹的宽度为

其他任意两相邻暗纹的距离（即明纹的宽度）为

可见所有其他明纹均有同样的宽度，而中央明纹的宽度为其他明纹宽度的2倍。

由式（15－2－3）可以看出，当单缝宽度a很小时，条纹分布较宽，光的衍射作用明显。当a变大时，条纹相应变得狭窄而密集；当单缝很宽时，如a≫λ时，各级衍射条纹都密集于中央明纹附近而分辨不清，只能观察到一条亮纹，它就是单缝的像。这时，光可看成是直线传播的。当单缝宽度a一定时，对同一级衍射条纹，波长λ愈大，则衍射角φ愈大，因此，若用白光照射，除中央明纹的中部仍为白色外，其两侧将出现一系列由紫到红的彩色条纹，称为衍射光谱。不同波长、不同级次的条纹可能产生重叠现象。

【例15－1】 用波长为546nm的单色平行光垂直入射到宽为0．437nm的单缝上，并用焦距为40cm的透镜将衍射光会聚到屏幕上，求屏幕上中央明纹的宽度d及第二、第三级暗纹的距离Δx。

解 由暗纹条件，第一、二、三级暗纹的衍射角φ应该满足：

透镜到单缝的距离比透镜到屏幕的距离小得多，且衍射角φ很小，近似有

【例15－2】 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明纹位置正好与600nm的单色平行光的第二级明纹位置重合，试求该单色光的波长。

解 由单缝衍射的明纹条件，对波长分别为λ1和λ2的单色光，有

若k1和k2两级条纹重合时φ角相同，则

将λ1＝600nm，k1＝2，k2＝3代入上式，即得