地质统计学插值方法

在实际工作中，我们不可能获得每一个空间点的实际测量值，因此就产生了用已知样品点数据去预测未知采样点的数据，并且要尽可能地接近真实值。由于克里格法具有“最佳线性无偏估计”的特点，所以在许多领域都有广泛应用，也是储层随机模拟的核心算法。

1．普通克里格

Zi(i=1，2，…，n)是一组离散的信息样品数据，为了估计一个未知值点的值，采用线性估计量为:

其中，λi为权系数;Zi为已知点的值。它是n个数值的线性组合。

因为，又因为，。

(2)普通克里格方程组。

估计方差:

在无偏条件下，要最小，以求λi(i=1，2，…，n)，作拉格朗日乘数法，令F=－，求F对λi及μ的偏导，整理得:

式(6-29)即为n+1个方程的普通克里格方程组，其矩阵表示为:

［K］·［λ］=［M］　(6-30)

其中:

2．指示克里格

指示克里格是对离散指示变量的一种最优空间估计的克里格方法，既可以针对离散变量，也可以针对连续变量。对于连续变量时，必须首先进行指示变换，是将原始数据按照不同的门槛值，编码成离散指示变量的过程。如根据地震属性的岩性预测、数据分布级差较大的渗透率分级别的模拟等。

设条件数据为{z(xa)，a(n)}，其中x为未采样点并需估算其cpdf值，z0为级别中的一门槛值，则cpdf的Prob{z(x)≤z0|z(xa)，a∈(n)}值将由指示克立格法估算出。设一门槛值z0，并且定义x点处的指示随机变量的二值变换式为:

则x点处的条件期望值为:

E{I(x，z0)|z(xa)，a∈(n)}=0×Prob{z(x) ＞z0|z(xa)，a∈(n)}

+1×Prob{z(z0)≤z0|z(xa)，a∈(n)}

=Prob{z(x)≤z0|z(xa)，a∈(n)}　(6-33)

所以，通过相应指示条件期望E{I(x，z0)|z(xa)，a∈(n)}的估算可以得到其相应的条件概率分布值，Prob{z(x)≤z0|z(xa)，a∈(n)}。

利用条件数据点及指示克里格法可得到期望值E{I(x，z0)|z(xa)，a∈(n)}的最佳线性无偏估计。由指示数据的线性组合便得到了局部条件概率的估计式:

F*{(x;z0)|z(xa)，a∈(n)}=P*{z(x)≤z0|z(xa)，

a∈(n)}=∑λa(x，z0)i(xa，z0)

式中，*表示估计值;i(xa，z0)为以z0为门槛值的样点z(x)的指示变换;λa(x，z0)为相对应的克里格权因子。

此权因子为门槛值与待需估算cpdf函数在x处的函数值，它可通过指示克里格法解得［使用指示协方差函数C1(h，z)及二值随机函数I(x，z0)的克里格系统］，即:

3．软克里格

软克里格实际上就是引入了与硬数据相关的软数据的指示克里格方法，其目的是为了弥补硬数据的不足，这一点非常适合储层建模，在井资料贫乏的情况下，地震等软数据的引入是十分必要的。其计算思路是通过修改局部先验概率分布函数来得到局部后验分布函数。估计方程如下:

式中，λα(u，z)是n个邻近硬指示数据的权值;υα'(u，z)是n'个邻近软指示数据的权值;λ0为全局先验概率分布函数的权值。

为了达到无偏条件，λ0通常设为:

累计条件概率分布函数(ccdf)式(6-35)可以视为一个指示克里格估计，该估计中集合了不同类型的数据(包括硬数据i或j指示数据和软数据的y先验概率数据)。如果不采用软数据，式(6-36)就回到了简单指示克里格。

4．协克里格

传统意义上的克里格是对单一属性数据进行空间上的最优估计，如一个未取样点的孔隙度值Z(u)的估计是根据邻近具有相同承载的样品的孔隙度，通过求解克里格方程组(式6-29)来得到的。而协克里格可以通过多个具有相关性的数据属性来估计一个数据属性，如同样是对孔隙度的估计，一般在空间上的取样点是十分有限的，油田上最多的也只有测井资料的解释成果数据，在横向上的连续性极差。尤其是在井网密度大的情况下更为明显，这时，我们可以借助于地震波阻抗数据的补充，因为波阻抗与孔隙度的相关性是我们都已熟知的。这样，在克里格的估计中，就同时存在两个变量，初级变量(孔隙度)和次级变量(波阻抗)。

设初级变量为Z，次级变量为y，Z(u)的普通协克里格估计则为:

式中，λα1为n1个Z样品的权值;λ'α2为n2个Y样品的权值。

普通克里格方法需要关于Z的空间协方差模型，而协克里格需要一组协方差模型，即:Z协方差Cz(h)、Y协方差CY(h)、Z-Y协方差CZY(h) =Cov{Z(u)，Y(u+h)}、Y-Z协方差CYZ (h)。在一个克里格计算中，当具有K个变量时，协方差矩阵就会有K2个协方差函数，这样的计算是十分复杂的，这也是协克里格方法在实践中应用并不广泛的主要原因。而采用具有外部漂移的克里格和排列克里格可以大大地减少其复杂性。