【摘要】：经典力学中，牛顿运动方程是质点运动遵从的基本方程，已知质点运动的初始状态应用牛顿运动方程可求出质点在任意时刻的运动状态．在量子力学中，微观粒子的状态是由波函数描述的，必须找到微观粒子所遵循的运动方程，才可以由粒子的初始状态求出粒子在任意时刻的状态．这个等同于经典物理牛顿方程的关于微观粒子运动规律的微分方程就是薛定谔方程．同牛顿运动方程一样，薛定谔方程不可能由其他原理推导出来，而只能在一些假设的基础
经典力学中，牛顿运动方程是质点运动遵从的基本方程，已知质点运动的初始状态应用牛顿运动方程可求出质点在任意时刻的运动状态．在量子力学中，微观粒子的状态是由波函数描述的，必须找到微观粒子所遵循的运动方程，才可以由粒子的初始状态求出粒子在任意时刻的状态．这个等同于经典物理牛顿方程的关于微观粒子运动规律的微分方程就是薛定谔方程．同牛顿运动方程一样，薛定谔方程不可能由其他原理推导出来，而只能在一些假设的基础上建立起来，正确与否要靠实践来检验．下面，我们介绍建立薛定谔方程的主要思路．
为简便起见，还是以一维自由粒子为例进行讨论．如前所述，一个沿x轴运动的动量为p、能量为E的自由粒子，其波函数为
将上式对t求一阶偏导，得
再对x求二阶偏导，得
考虑到自由粒子的能量为动能，且当自由粒子运动速度远小于光速时，在非相对论范围内，自由粒子的动能与动量之间的关系为
由式（14.29）、（14.30）可得
这就是一维运动的自由粒子的波函数所遵循的规律，称为一维自由粒子的含时薛定谔方程．
将式（14.29）中的E用上式代替，并利用式（14.30）可得
其中
将式（14.33）代入式（14.32），整理后可得
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