在奇点附近的相轨迹性态

第四节　在奇点附近的相轨迹性态

当讨论一个物种的进化问题时，必然借用二群体的弗尔特拉生态方程，所以熟悉二群体的基本数学方法是非常重要的。现在为了普遍性的应用，我们把二群体随时间的各自增长率写成函数的形式如下

用第二式除第一式，我们有dy／dx＝P／Q。当P＝0时，y不随t而变化，同时斜率dy／dx＝0；当Q＝0时，x不随t而变，同时dy／dx＝∞。因此，在这种情况下，x与y正交，特征线P与Q正交。这里的斜率就是食者人数随食物量而变化的情况；在一般情况情况它既不为0，也不是∞。这里的P（x，y）与Q（x，y）类似于速度矢量，矢量为零的点称为矢量场的奇点，也就是增长率为零或系统处于平衡状态。

上面的xy平面称为相平面。当P＝0，Q＝0时，从弗尔特拉方程我们有x＝k／h，y＝a／b；这时的x与y就是相平面上奇点Z的坐标，亦即平衡点的坐标。奇点Z（k／h，a／b）也就是特征线P＝0与Q＝0的交点。

此图指出：如果开始时只有食者没有食物，则食者将死尽，如果开始没有食者，则食物将无限增长；如果开始食者人数为a／b，食物量为k／h，则二者将维持这个平衡状态；如果在开始t＝0时，x（0）＞0，y（0）＞0，而不是Z，则二者将循环振荡。

在相平面上的任一点处，注意P与Q的符号，就能得到相轨迹随时间而变的一般方向。例如：

当P＞0与Q＞0时，一般方向为↗

当P＞0与Q＜0时，一般方向为↖

当P＜0与Q＜0时，一般方向为↙

当P＜0与Q＞0时，一般方向为↘

于是特征曲线P（x，y）＝0与Q（x，y）＝0把相平面分成4个区域，每个区域中的所有相轨迹有相同的一般方向。

奇点邻域中的相轨迹用下面任何一种方法都能表示出来：

（1）相轨迹不经过盘旋而直接趋向奇点；

（2）相轨迹不经过盘旋而直接从奇点出来；

（3）相轨迹在奇点附近横过一特征曲线而偏离另一特征曲线；

（4）相轨迹偏离奇点，顺着特征曲线而延伸；

（5）相轨迹由外向内盘旋，横过特征曲线趋向奇点；

（6）相轨迹从奇点出来，横过特征线，向外盘旋；

（7）相轨迹是一根封闭曲线，围绕奇点，横过特征线。

情况（1）与（5）都是稳定的，当t→∞时，对于x与y有一个唯一解。情况（7）是稳定的，有一个振荡解。通常期望的一个稳定解是情况（5）的类型。

此外，情况（1）的奇点是汇点，（2）是源点，二者的相轨迹反向。情况（3）与（4）都是鞍点，情况（5）与（6）都属于焦点；情况（7）是中心点。