概率和运算

时间：2022-10-21 百科知识版权反馈

【摘要】：}称完备事件组。概率或称为机率，是指随机事件发生的可能性。人们常关心概率的具体数量及其计算方法，如果知道明日下雨的概率大就会带雨伞，如果知道获奖概率大就会购买彩票。决策者依据经验和判断力对事物的概率进行主观估计。如某工厂的废品率，某地交通事故发生率，人口死亡概率，男女婴儿出生概率等。比如男性和女性是互斥的，社会调查中“是非”选择题也是互斥的，非此即彼。

概率和运算_社会统计学

第一节　概率和运算

一、随机事件

对客观事物进行观察或登记的过程称为试验。每次试验中可能发生、也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的事件叫偶然事件或随机事件，通常用A、B、C……表示。

1.随机事件概念

随机事件在社会经济生活中都普遍存在，如经济抽样调查，某家庭可能被抽到，也可能未被抽到；明天可能收到家人的短信，也可能收不到。随机现象的特点是，在基本条件不变的情况下，一系列的试验或观测会得到不同的结果，在试验或观测前不能预见何种结果将出现。但通过试验，可以逐步认识随机现象的规律。

随机试验(简称试验)必须满足以下的性质:

①试验之前所有结果将是明确的；

②每次结果仅有限种可能性，试验之前不能确定何种结果将会出现；

③试验可在相同条件下重复进行。

在随机试验中，可能出现也可能不出现的结果，被称为随机事件(简称事件)。试验的结果可能是—个简单事件，也可能是一个复杂事件。简单事件称基本事件，是指不可以再分解的事件，复杂事件是由简单事件组合而成的事件。列举所有可能出现的事件，构成一个事件组{A、B、C，…}称完备事件组。如分币(正面、反面)，福奖(中奖、不中奖)，天气(晴、多云、阴、雨、雾、雪)等。

设试验有n个基本事件，分别记为ω_i(i=1，2，…n)；集合Ω(ω₁，ω₂，ω₃，…，ω_n)，又称为样本空间，Ω(福奖)中的元素(中奖、不中奖)就是基本事件。

与随机现象相对应的是确定性现象。所谓确定性现象，是指在一定的条件下，其结果能够明确预见的现象。例如，在通常气压条件下，水在摄氏零度时一定会结冰；认真学习，课程考试一定能通过。为了方便与统一，通常把确定性现象的结果也看做一种特殊的随机事件:必然事件用样本空间Ω表示；不可能出现的试验结果称为不可能事件，用空集Φ表示。

2.关系式和运算关系式

事件的关系式有相等和包含；事件的运算有和(并)、差、交(积)和逆。

包含:关系式A＞B表示“若A出现，则B也出现”，读作“B包含A”或“A导致B”。

相等:关系式A=B表示“事件A和B等价”或“事件A等于事件B”。

和(并):运算式A∪B或A+B，读作“A加B”或“A与B的和(并)”，表示A和B至少出现一个，即“A发生或B发生”的事件。

差:运算式A－B，读作“A减B”或“A与B的差”，表示事件A出现但B不出现。

交(积):运算式A∩B或AB，读作“A与B的交(积)”，表示A和B同时出现的事件，或者“A与B同时发生”事件。

对立事件是指在一次试验中，事件A和事件B中仅有也必有一个事件发生，

互相独立事件是指事件A发生与否不会影响事件B的发生，A=A/B或B= B/A。

［例5.1］如果A={参加社会医疗保险}，B={参加社会医疗保险}；则:

　A∪B:表示参加社会养老保险或医疗保险的人员，其中∪有时写作+；

　A－B:表示参加社会养老保险但未参加医疗保险的人员；

　A∩B:表示同时参加社会养老保险和医疗保险的人员，其中∩有时可省略；

表示没有参加社会养老保险的人员。

若A={老年人}，B={残疾人}；则A∪B、A－B、A∩B、分别代表什么(如图5.1所示)?

［例5.2］投掷一粒均匀的六面体骰子，出现的点数有可能是1，2，3，4，5，6共六种。这六种结果是基本结果，不可以再分解成更简单的结果了，所以Ω={1，2，3，4，5，6}为该试验的样本空间。“出现点数是奇数”的结果就不是简单事件，其由基本事件{1}、{3}和{5}组合而成的。通常用大写字母A，B，C，……来表示随机事件，设A表示“出现点数是奇数”，则A={1，3，5}；设B表示“出现点数是偶数”，则B={2，4，6}；D={2，4}。

图5.1　事件A和事件B的关系示意图

［例5.3］投掷一颗均匀的六面体骰子，观察出现的点数:若用事件A表示“奇数点”；B表示“点数小于5”；C表示“小于5的偶数点”。用集合的列举表示法表示下列事件:Ω、A、B、C、A+B、A－B、B－A、AB、AC和+B。

解:Ω={1，2，3，4，5，6}　　 A={1，3，5}

B={1，2，3，4}　　　　　　　 C={2，4}

A+B={1，2，3，4，5}　　　　　A－B={5}

B－A={2，4}　　　　　　　　　A∩B={1，3}

A∩C=Φ　　　　　　　　　　　C－A={2，4}

+B={1，2，3，4，5，6}

二、概率的概念

概率或称为机率，是指随机事件发生的可能性。比如，明天下雨的概率、某人生男生女的概率。人们常关心概率的具体数量及其计算方法，如果知道明日下雨的概率大就会带雨伞，如果知道获奖概率大就会购买彩票。

1.概率的计算

概率计算和估计的方法大致有三种。社会科学遇到的概率大多是主观概率和试验概率。

①主观概率。决策者依据经验和判断力对事物的概率进行主观估计。如天气预报员根据历史情况和经验，预测降水的概率、降温的概率；海洋预报员预测高海浪发生的概率；体育播报员预测某足球队赢球的概率。

②试验概率。进行n次大量重复试验，随机事件A发生的次数是m次，发生的频率是m/n，当试验的次数n很大时，如果频率在某一数值p附近摆动，而且随着试验次数n的不断增加，频率的摆动幅度越来越小(试验结果稳定)，则称p为事件A发生的概率，记为:P(A)=p。如某工厂的废品率，某地交通事故发生率，人口死亡概率，男女婴儿出生概率等。

③古典型概率。如果随机试验的样本空间是有限集合，所有样本点出现的可能性相同，则事件A的概率可根据以下公式计算:P(A)=m/n=事件A包含的样本点个数/样本点总数。即事件的概率P(A)为A事件所包含的基本事件数与全部基本事件总数之比。如福利彩票获奖的概率；如不断重复地投掷一枚硬币，出现正面的概率为1/2；再如六面体的骰子，出现任何一面的概率应该为1/6，出现偶数的概率等于出现奇数的概率，都是1/2。古典概率的特点是每次试验只有有限次可能试验结果，即组成试验的基本事件总数为有限个。每次试验中，各基本事件出现的可能性完全相同。

概率分析:陈述下列所有可能出现的事件，分析各种事件出现的机率(可能性)。

［例5.4］四个白球编号1，2，3，4，二个黑球编号5，6，①现任取一球，问抽到白球的概率为多少；②若任取二个球，都是白球的概率为多少；③若任取三球，问都是白球的概率(如表5.1所示)。

答:①6个球任取1球，抽到白球概率为4/6。

②6个球任取2球，都是白球的概率为

其中是表示一种组合，从n个样本的母体中任意抽取m个样本。

表5.1　　　　　　　　　　从6球中任抽2球时，都是白球的事件分析

2.概率的公理

不相容事件是指你中无我，我中无你，各自相互独立的事件。比如各系科学生的注册是不相容，在社会学系注册的学生，不能是经济学系的；而各系科学生的选课是相容，可以到社会学系，也可以到经济学系进行选课。社会调查要求每个回答项目必须是不相容的，即各答案是相互独立的。再如，每人出生地是不相容的，但中小学校地点可能是相容的。有房与无房是不相容的，但有房与有车是相容的。

互斥(逆)事件是指仅有2个不相容事件时，他们之间关系是相互排斥，非此即彼。比如男性和女性是互斥的，社会调查中“是非”选择题也是互斥的，非此即彼。互斥事件一定是不相容事件，但不相容事件不一定是互斥事件。

苏联数学家柯尔莫哥洛夫于20世纪30年代提出概率三条公理:

公理1:任何一个事件A发生的概率P(A)，一定大于或等于0，小于或等于1，0≤P(A)≤l，如果P(A)=1，事件A就必定发生；如果P(A)=0，那么事件A就一定不发生。

公理2:若A₁，A₂，……，A_n为互斥事件，则P(A₁+A₂+……+A_n)=P(A₁)+P(A₂)+……+P(A_n)

公理3:若S为所有事件的集合，则P(S)=1。

三、概率的运算法则

1.概率加法规则

任意事件A和事件B的和(并)的概率，等于A的概率与B的概率之和，再减去两事件同时发生的概率，也就是:

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)　　　　　　　　　　　(5.1)

［例5.5］100件产品中，一、二等品分别为60、30件，次品10件。

设事件A、B分别表示产品为一、二等品。显然，事件A与B互不相容，并且事件A+B表示产品为合格品，按古典公式有:

P(A)=60/100P(B)=30/100

P(A+B)=(30+60)/100=0.90

［例5.6］100产品中有5件是废品，现任取50件产品，问恰好2件废品的概率P(A)，恰好1件废品的概率P(B)，恰好0件废品的概率P(C)，而不足2件废品的概率为P(A)+P(B)+P(C)，按古典公式有:

［例5.7］某城市居民家庭中自购住房的占75%，购有小汽车的家庭占23%，而有房同时有车的家庭占17%，现问有房或有车的比例为多少?

设:A为有房的家庭，B为有车的家庭。P(A+B)为有房或者有车的家庭。

P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.75+0.23－0.17=0.81=81%

即有房或有车的家庭比例为81%。

加法规则的一般公式P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)　　　　　(5.2)

在不相容事件加法中，P(AB)=0。即两个不相容事件和的概率等于两个事件概率的和。

P(A+B)=P(A)+P(B)　　　　　　　　　(5.3)

在三个事件的加法中，［例5.7］中有车或有房或子女自费留学海外的家庭数量比例为P(C)，则有:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)+P(ABC)　　　　　　　　　(5.4)

［例5.8］一袋内装有9个白球和3个红球，今从袋中任意地顺次取出3个球，每次取一个，取出后不放回，求第3次取出的是白球的概率；若第3次取出的是白球，则第一次取出的是白球的概率是多少?

解:分析第3次取到白球的事件，一共由下列4个互不相容事件组成:

(白白白)，(白红白)，(红白白)，(红红白)，故依加法定理

P=9/12*8/11*7/10+9/12*3/11*8/10+3/12*9/11*8/10+3/12*2/ 11*9/10=99/132=0.75，

即第3次取到白球的概率是0.75。第一次取出白球的事件是上述四事件的前两种，故

P=9/12*8/11*7/10+9/12*3/11*8/10=6/11=0.545455

则第一次取出的是白球的概率是

(6/11)/(3/4)=8/11=0.7273

即若第3次取出的是白球，则第一次取出的是白球的概率为0.7273。

赌徒理论:如果赌博没有作弊，且不贪心，一赢就停，只要有足够的资本，必赢无疑。因为按照倍增比例下赌注，1、2、4、8、16、32、64、……只要任何时间赢一次就停止，就可返本而有所盈利。但实际上，不贪心、一赢就停都是不可能的(就是赢方要停，输方也不同意停)；赌博(包括机器赌博)不作弊同样也是不可能的。因此，切记应该远离赌博。那么，概率论和赌博业同时发展，如果精通了统计学，能否提高赌博的胜算率呢?答案也是否定的，掌握统计学，在没有作弊的情况下，可以客观计算出每次赌博的胜算比例和胜算率。彩票和赌博虽都通过随机数字的抽取，获得相当的现金返回；但彩票是国家发行、无作弊行为，统计可发现，即使某数字出现次数偏多，但也是随机的。彩票多余资金是用于资助弱势群体或福利事业发展的。所以，若抱着做贡献的思想，可以考虑购买福利或体育彩票。

［例5.9］试分析某彩票获奖的概率(如表5.2所示)。假如某彩票设计100万注为一开奖组，每注2元，可任抽6个码和1个附码，各码可以重复，即有放回的抽样。6个码和附码都正确者(假设为357184.8)得特等奖(100万元)，抽中任何连续的6个码为1等奖(35万元)，抽中任何连续的5个码为2等奖(2个，每人7000元)，抽中任何连续的4个码为3等奖(3个，每人300元)，抽中任何连续的3个码为4等奖(4个，每人20元)，抽中任何连续的2个码为5等奖(5个，每人5元)，请分析每个奖项及整体的中奖率和现金返回率。

表5.2　　　　　　　　　　某彩票的获奖中奖面和现金返回率分析

显然，本次奖项设计为整体中奖面为5.43211%，而现金返回率为50.5%。若有人用100元购买50组彩票，一般情况下，中奖彩票为2.7张，可获现金50.5元。但实际总有偏差。

2.条件概率和概率乘法公式

若A、B是两个随机事件，在已知B发生的条件下，A发生的概率称为A对于B的条件概率，用P(A/B)表示。如某地每年7月份(B)下雨(A)的概率P(A/B)，而P(B/A)是下雨出现在7月的可能性，这两者是不一样的。该公式也称为概率乘法公式:

P(AB)=P(B)*P(A/B)；P(AB)=P(A)*P(B/A)　　(5.5)

［例5.10］在10件产品中有7件合格品，3件次品。在7件合格品中有5件一等品，2件二等品。现从中任取一件，以B表示取到合格品，取到合格品的概率有P(B)=7/10；A表示取到一等品，取到一等品的概率有P(A)=5/10。若已知取到的是合格品，此时取到一等品的概率就应为P(A/B)=5/7。对于较一般的情况，需要利用乘法公式来计算条件概率。

［例5.11］某院下设社会学和社会工作两系，2010年全校招收500学生，人数分布如下:

表5.3　　　　　　　　　　某院社会学、社会工作男女生分布

P(A∩B)=P(B)*P(A/B)=(410/500)*(160/410)=160/500=32%

即社会学系男生占学院新生人数的32%。

［例5.12］全年级100名学生中，有男生(以事件A表示)80人，女生20人；来自江苏的(以事件B表示)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语的(用事件C表示)40人中有32名男生，8名女生(如表5.4所示)。试写出男生出现的概率P(A)，来自江苏学员的概率P(B)，男生中来自江苏的概率P(B|A)，来自江苏的学员中男生出现的概率P(A|B)，来自江苏同时又是男生的出现概率P(AB)，免修外语的概率P(C)，男生中免修外语的概率P(C|A)，来自江苏以外地区学员中女生的概率，男生同时免修外语的学员出现概率P(AC)。