粘性流体中的应力

1.粘性流体中的应力

在理想流体的模型中没有粘性切应力，对于粘性流体的运动则需要考虑切应力。切应力的存在是粘性流体运动有别于理想流体运动的主要特征。

图8-1 不同作用面上的应力矢量

由于每一个应力矢量都可以用三个分量表示，因此一共需要运用九个应力分量才

p又称为应力张量。

描述一点应力状态的九个应力分量并不是相互独立的，切应力分量两两相等，也就是这三个关系式也称为切应力互等定律。由于切应力分量两两相等，式（8.1）定义的二阶张量是个对称张量，它只含有六个独立的分量。

由于有切应力互等定律，实际上只用六个独立的应力分量就可以完整地描述粘性流体中一点的应力状态。

2.广义牛顿（Newton）内摩擦定律

在1.3节中介绍了牛顿平板实验。牛顿从简单的实验中发现，流体中的切应力与流动的角变形率成正比。这就是第1章中所介绍的牛顿内摩擦定律。采用本章所定义的应力符号，这个定律可以表示为

其中，μ是流体的动力粘度，而则是牛顿平板实验中平行剪切流的角变形率。式（8.3）是最简单的应力与变形率之间的关系式，它只适用于平行剪切流。要得到一般形式的应力-变形率关系式还必须运用理论推演的手段。

英国科学家斯托克斯在1845年把牛顿内摩擦定律推广到任意的三元流动。他认为，粘性应力与流体变形率之间的关系应该满足以下三个条件：

①粘性应力与变形率之间成正比关系；

②流体是各向同性的，应力与变形率之间的关系与方向无关；

③当流体静止时，应力-变形率关系给出的正应力等于流体的静压强。

这三个条件通常也称为斯托克斯假设。

由假设①，应力分量与对应变形率分量之间的关系可以写为

将上式与由牛顿平板实验得到的式（8.3）相比较，并考虑到在牛顿的实验中▽v/▽x= 0可知，必有

运用式（8.5）所给出的a，由式（8.4a）至（8.4c）写出三个正应力分量，有

再把三个正应力分量相加，得

当流体静止时有

在运动的粘性流体中三个正交的正应力分量一般并不相等，考虑到假设③，要求

比较式（8.6）和（8.7）就可以解出常数b，且

把式（8.5）的a和式（8.8）的b代入表达式（8.4）后就得到应力与变形率之间的关系，其中三个正应力分量为

三对切应力分量为

应力与变形率之间的关系式（8.9）称为广义牛顿内摩擦定律。

式（8.9）也称为流体的本构方程。广义地讲，反映物质物理性质的关系式统称为本构方程，在流体力学中它一般专指应力与变形率之间的关系。在固体力学中，本构方程指的是应力与应变之间的关系，也就是广义胡克定律。

如果流体是不可压缩的，则

此时式（8.9）中的正应力又简化为

柱坐标系和球坐标系中广义牛顿内摩擦定律的表达式见附录。

实践证明，对于大多数流体的流动，广义牛顿内摩擦定律都能够较好地描述粘性应力与变形率之间的关系，自然界中也有一些流体不满足这个定律。满足这个定律的流体称为牛顿流体，不满足这个定律的流体则称为非牛顿流体。

例8-1已知粘性流体运动的速度