概率演算的一般原理

原理一——这些原理中的第一条原理是概率的定义，正如以前阐述过的那样^[7]，概率是有利情形数与所有可能情形数之比。

原理二——在这里假设所有情形是等可能的。如果它们并非是等可能的，就首先得确定其每一个（情形）的可能性，对它们的精确估计是偶然事件的理论的最困难之处。如此，此概率就为每个有利情形的可能性之和。下面我们举例说明之。

假定我们向空中掷一枚大而薄的硬币，硬币的两个相反的面是完全类似的，我们称之为正面和反面。我们来求掷两次至少有一次出现正面的概率。很明显，会出现四种等可能情形，即第一次和第二次都出现正面；第一次出现正面，第二次出现反面；第一次出现反面，第二次出现正面；最后是两次都出现反面。前三种情形是有利于我们要求其概率的事件，因此这一概率等于3/4。所以，硬币投掷两次至少出现一次正面，是一个3∶1的赌注。

在这一游戏中，我们可以只数出三种不同的情形，即第一次出现正面，略去掷第二次；第一次出现反面，第二次出现正面；最后是第一次和第二次都出现反面。如果我们同意达朗贝尔的意见，认为这三种情形是等可能的，这一概率将减少为2/3。但是很明显，掷第一次出现正面的概率是1/2，而其他两种情况的概率是1/4，第一种情形是一个简单事件，它相当于下述两个事件的复合：掷第一次和掷第二次时都出现正面；掷第一次时出现正面，第二次出现反面。如果我们按照第二原理，把掷第一次出现正面的可能性1/2与掷第一次出现反面第二次出现正面的可能性1/4相加，我们就会得到所要求的3/4的概率，这与我们所假定的掷两次时得到的结果是一致的。这一假定丝毫没有改变对这一事件下赌注的人的运气：它只是有助于把各种不同的情形简化为等可能的情形。

原理三——概率论的最重要问题之一，并且也是最易引起错误的，是概率由于相互结合而如何增加或减少的。如果各事件是彼此独立的，那么其组合存在的概率是其各自的概率之积^[8]。因此，掷一枚骰子出现一点（ace）的概率为1/6，而同时掷两枚骰子出现两点的概率为1/36。一枚骰子的每一面都能与另一枚骰子的六面相结合，实际上就有36种等可能情形，其中只有一种情形出现两点。一般而言，一简单事件在同样条件下连续发生给定次数的概率就等于以这一简单事件的概率为底以该次数为指数的幂。因为一个小于1的分数的连续乘幂会不断地减小，那么基于一连串很大可能性的一个事件将变得极其不可能。假定由二十位证人以这样一种方式来告诉我们一件事情：第一个人告诉第二个人，第二个人告诉第三个人，如此等等；再假定每一证言的真实性都为分数9/10，那么由这些证言得到事实真相的概率将小于1/8。我们对概率的这一衰减所能作的最好比较就是几片玻璃的插入所引起的物体亮光的衰减，很少几片玻璃就足以使一个物体从我们的视野中消失，而一片玻璃却可以使我们清晰地看见这一物体。当历史学家观察经过了连续数代的事件时，他们对于事件概率的这一衰减现象，似乎没有给予足够的重视，如果用这种方式加以检验的话，许多为人们信以为真的历史事件至少是值得怀疑的。

在纯数学科学中，最远的推论也保持着它们从中被导出的原理的确定性。在应用分析方法于物理学时，结论里也保持着事实或经验的所有确定性。但是，在道德科学中，每一个推论都是从位于它之前的推论以一种可能的方式导出的，无论这些推演的可能性有多大，错误的可能性却随着推演次数的增加而增加，最终，在距正确法则很远的推演结果中，谬误的可能性会超过真相的可能性。

原理四——当两个事件彼此相关时，复合事件的概率为第一事件的概率与在第一事件发生的条件下第二事件发生的概率之积^[9]。因此，在前述三个瓮A、B、C的情形中，其中两个瓮里仅只装有白球，一瓮里只装有黑球；从C瓮中抽取出白球的概率为2/3，因为三个瓮里只有两个瓮里装有白球。但从已C瓮取出白球后，关于只装有黑球的瓮的不确定性就仅限于A瓮和B瓮了。从B瓮里抽取出一个白球的概率为1/2。2/3与1/2之积，即1/3就是从B瓮和C瓮里同时抽出两个白球的概率。

从这个例子中可看出过去事件对未来事件概率的影响。从B瓮里取出一个白球的概率，起先为2/3，但当已经从C瓮里取出白球之后，其概率就变成了1/2；如果从C瓮里取的是黑球，那么从B瓮里取出白球便成了必然事件。我们可以用下面的原理来确定这一影响，它是上述原理的推论。

原理五——如果计算一个已经发生了的事件的先验概率，以及一个由这一事件跟所期望的第二事件复合而成的事件的概率，那么后者被前者所除就是在已观察到的事件之下所希望事件的概率^[10]。

这就出现了一个由一些哲学家在处理过去对未来概率的影响时所提出的问题。假设在“猜正面-反面”（heads or tails）（掷硬币）的游戏中，如果正面比反面出现得频繁，仅凭这一点我们就会相信在硬币的结构中存在着一个有利于出现正面的秘密原因。在生活中，总是开心快乐是个人胜任能力的证明，因此我们更愿意雇用这样的人。但是，如果环境不稳定，我们总是陷入完全不确定的状态中，例如，在掷硬币时，每掷一次都更换硬币，那么，过去就不会影响未来，考虑过去对未来的影响就是荒谬的。

原理六——使观察到的事件发生的任何一个原因是以与该原因引起该事件发生的概率同样大的可能性来显示出来的，如果该事件是稳定的话。因此这些原因中任一个原因存在的概率是一个分数，其分子是由这一原因引发的事件的概率，其分母为所有这些原因引起该事件的概率之和^[11]，如果先验地（apriori）认为各个原因不是等可能性的，那么就有必要用该原因自身的概率与这个事件概率之积来代替每一个原因所引起的该事件发生的概率。这是偶然性分析这门分支学科的基本原理，从事件追溯原因是这门学科的主要部分。

这一原理给出了我们之所以把规则性的事件归之于特定原因的理由。一些哲学家认为这类事件比其他事件的可能性小，例如在掷硬币游戏中，正面连续出现二十次的组合，在本质上没有那些正反面以不规则方式混合出现的组合来得容易。但是，这种观点假定了过去事件对未来事件的可能性有影响，这是根本不能接受的。有规则的组合方式出现得更少仅仅是因为其数目更少。如果我们总是在对称性上寻找原因，这并非因为我们认为对称事件比其他事件发生的可能性小，而是因为我们认为这一事件要么是一有规律的原因的结果，要么是偶然性的结果，并且前者比后者更有可能。在桌上，我们看到字母以君士坦丁堡排序方式（Constantinople）排列，我们便判定这一排列不是偶然的结果，这并非因为它比其他情况的可能性小。而是因为，如果这个词在任何语言中都没有见到过，我们就不应猜疑它出自某种特殊的原因，但是，既然这个词已被我们广泛使用，那么这种排列就不是出于偶然，而更可能的是某人将之排列成这样。

现在该定义异常的这个词了。我们在思想中把所有可能的事件分成不同的类，而把那些包含很少数事件的类看作是异常的。例如，在投硬币游戏中，正面连续出现一百次对我们而言是异常的，因为掷一百次可能出现的组合方式数几乎是无限的。假若把组合方式分成具有明显次序的规则系列和不规则系列，那么，后者在数目上会占绝对优势。一个瓮里有一百万个球，其中只有一个是白球，其余的是黑球，从这样一个瓮里取得一个白球似乎同样是异常的，因为我们把黑白两种颜色的球只分成两类事件。但若从一个装有一百万个数字的瓮里取出一个例如475813的数字，对我们而言似乎就是一个普通事件；因为如果我们不把这些数字加以分类，而是一个个地对它们作比较，我们就没有理由认为其中的某一个数字会比其他数字更容易出现。

综上所述，我们可以得出下述一般的结论：事件越是异常，就越需要有充足的证据支持。对那些证明它的人而言，行骗和受骗这两个原因的可能性随着事件得以实现的可能性的减小而增加。尤其在我们下面谈及证据的概率时，将看到这一点。

原理七——未来事件的概率是每一原因的概率（由已观察到的事件获得）与在该原因存在的条件下未来事件将要发生的概率之积的总和^[12]。下面的例子将阐明这一原理。

设有一个只装有两个球的瓮，这两个球不是白色就是黑色的。取出一球并在下次取球前仍将此球放回瓮里。设前两次取得白球，求第三次取出白球的概率。

这里只能有两种假设：或者其中一个球是白球，另一个是黑球；或者二者皆是白球。在第一种情况下，已观察到的事件的概率是1/4，在第二种情况下，概率为1或者说是必然事件。因此，在把这些假设作为原因时，从第六原理可求得它们的概率分别为1/5和4/5。但是，若是第一种假设，第三次取得白球的概率就为1/2；若是第二种假设，则为1；因而用相应假设的概率乘以上述概率，其积之和为9/10，即为第三次取得白球的概率。

当单个事件的概率未知时，我们可以假定它等于0到1之间的任意值，根据第六原理，由已观察到的事件得出的每一种情况的概率是一个分数，其分子是这一假设之下的事件的概率，其分母是所有有关情况的类似概率之和。因此，一事件的可能性位于在给定范围之内的概率则是位于在这些范围之内的分数之和。现在，如果我们用相应假设所决定的未来事件的概率乘以每一个分数，按照第七原理，这种种假设之积的总和将是从已观察到的事件得出的未来事件的概率。因此，我们发现，当一事件连续出现数次时，下一次它将再次出现的概率等于这一数目加1除以这一数目加2。假定最古老的历史纪元是在5 000年之前，或者在1 826 213天之前，太阳一直以每二十四小时为一个周期的间隔升起，那么，我们可以下一个1 826 214∶1的赌注赌明天的太阳将再次升起。但是，当一个人从总体的现象中窥察到时日和季节的重要调节者（principal regulator）时，就会看到目前没有任何事情能阻止这一进程，所以，对此人而言，这一数值更大得无与伦比。

布丰（Buffon）在他的《道德算术》中对上述概率作了不同的计算。他推测它与1的差是一个分数，其分子为1，其分母为以2为底、以从纪元以来逝去的天数为指数的幂。但是，把过去的事件跟原因的概率和未来事件的概率联系起来的正确方法对这位著名的作者而言是全然未知的。