数列与时空的无限性

第二节　数列与时空的无限性

维特根斯坦还分别考察了数列的无限性、时间的无限性以及空间的无限性问题。关于数列的无限性，他强调在关于数列的规则之中就包含有关于数的一切无限的东西。例如，这些规则并没有限制数字向左或者向右伸展，这里就表现出数列的无限性。如果我们在“m=2n沿着数列伸展”这句话中，再加上“指向无限”这几个字，那就无非意指它不是指向任何确定距离内的数字。如有人认为，在写出一个数列时，数列要受到纸张或者其他书写材料的使用以及其他物质条件的限制。他则认为“这一点并不表现在有关数的应用的规则之中，只有在这些规则中才表现了数字的真正本质”（v.3，p.149，§141）。

维特根斯坦还用“（1.x.x+1）这样一个独特的符号来表示数列的无限性。他把这个符号本身看做一支箭矢，第一个“1”表示箭矢的羽毛，“x+1”表示箭头。这个符号的特点是：这个符号中的变量x表明，箭头和羽毛之间有多大距离是无关紧要的。正如箭矢的长度是非本质的一样。人们可以谈论那些位于箭矢所指方向上的事物，但是谈论在箭矢所指方向上的事物所有可能的位置，并把它们看做与这个方向相等同，则是无意义的。正如一个探照灯在无限空间中投射光亮一样，它显然可以照亮那些位于其投射方向上的一切事物，但不能因此就说它照亮了无限性。如果两支箭矢指向同一个方向，那就可以说这两支箭矢指的方向一样长，因为位于第一支箭矢所指方向上的任何事物，也同样处于第二支箭矢所指的方向上。他说：“数学中的一般性是方向，是遵循运算系列而运行的箭矢。而且可以说，箭矢指向无限。”（v.3，p.151，§142）但这并不意味着，存在着某种东西，即箭矢所指向的无限，如同箭矢指向某个事物一样。他强调箭矢描述了其方向中的位置的可能性。无限的数列本身仅仅指这样一种可能性。

按照维特根斯坦的观点，无限的数列只不过是有限数列的无限的可能性。谈论完整的无限数列，就好像它也是一种延展，这是无意义的。描述事实的数是有限的，而与事实之可能性相对应的数的可能性则是无限的。可以说，在数学中可能不存在现实性和可能性。一切都处于一个等级上。因为数学中用符号来表述的一切都处于一个等级上；这就是说，数学并非一会儿谈论其现实性，一会儿谈论其可能性，而是它根本不能尝试谈论其可能性。但他同时指出：“在数学符号中却存在着一种可能性，亦即那种存在于应用数学的真正命题之中的可能性。”（v.3，p.153，§144）

与此相关，维特根斯坦还认为人们不能谈论全体数，因为这样的数根本不存在。他说：“逐渐地把握全体数，这不仅‘对我们这些人’而言是不可能的，而且是根本不可能的，这是无意义的。”（v.3，p.133，§124）全体数只能作为概念而存在着。他说：“通过逻辑概念（1，ξ，ξ+1）给定其对象的存在这一事实表明，概念决定对象的存在。”（v.3，p.134，§125）在他看来，对数作一般性表述似乎是无意义的，人们不能谈论“（n）·φn”，因为“全体自然数”不是一个有限的概念。人们也不能说，从一种关于数的本质的陈述中可以得出一种一般的陈述。在数学中，人们不能使用像“全体数”那样的概念，因为全体数是不存在的，而是存在着无限的数。他说：“我总是在讲，人们不能谈论全体数，因为并不存在全体数。但这只是一种感觉的表达。实际上人们必定会说‘在数学中不存在关于全体数的说法’，如果即使这样人们依然还这么说，也只不过是把一些无意义的东西添加到数学事实之上。”（v.3，p.138，§129）

关于时间的无限性，维特根斯坦强调无限性内在于时间的本性之中。他说：“在我们看来，时间本质上就是无限的可能性。”（v.3，p.143，§136），我们不能想像时间有一个终点或者某一天就是末日。假如时间一直保持不变，那么现在能够发生的一切，在过去也能够发生，在将来也总会发生。他说：“我们不是把时间理解为无限的现实，而是理解为内在的无限。也可以这样认为：无限性内在于时间的本性之中，它绝非时间的偶然的延展。”（v.3，p.152，§143）当然，我们只能从我们眼前的一段时间出发认识时间，而决不能把握时间的无限延展，仿佛我们自己是无限长的时间的同时代人似的。我们所认识的、已实现了的时间是受限制的，即有限的。无限性是时间形式的内在品格。至于原始时间，他认为是无限的，或者说，它是一种无限的可能性，尽管它仅仅在人们的记忆所及的范围内得到实现，但这并不意味着它是有限的。时间并不是在原始的无限量这种意义上是无限的。

维特根斯坦强调时间的无限性不是延伸，并澄清了人们对这个问题可能产生了的一种误解。如果我们问：“时间的无限性在于何处?”那么人们可能回答说：“时间的无限性在于没有哪一天是最后的一天，在于任何一天的后面都会接着另一天。”他认为在这里我们被误导，由于一种相似性而把事情看错了，也就是说我们把日子的连续比做事件的连续了。如果有人说：“你看，我事先告诉你，在第四天之后，还会有一天接着”，那他则认为这里谈论的不是这样的预言，在第四天之后太阳还将像迄今为止那样运行。但是，这里涉及的根本不是一种预言，这没有预言任何事件。以时针的绕行为例，这里没有作这样的预言：“时针将永远这样转下去”，我们要说的却是：“时针‘可能一直这样转下去’，而这正是一种关于我们时间规定之语法的表述。”（v.3，p.299）

关于空间的无限性，维特根斯坦认为，与时间的无限性一样，空间的无限性也不是一种无限的延展。他说：“空间没有延展，只有空间中的对象才能延展，但是无限是空间的一种特性。”（v.3，p.145，§138）他提出下面这个设想来说明空间的无限性，设想有一行无限长的数列。为了综观这行数列，人们沿着这行数列开辟了一条路，但这条路肯定是没有终点的，那也就表明沿着这条路走下去，肯定走不到尽头。因此，这条路无助于人们综观这行数列。这就是说，无终点的路并不是有一个无限远的终点，而是根本没有终点。

维特根斯坦承认，在现实生活中，我的视力所能及的范围是有限的，例如它局限于我们房间的四面墙壁这个范围之内。但他同时指出：“存在着三维的视觉空间和运动空间。因为我所见之物，已经内涵了看到更大距离的可能性。这就是说，我只能凭借一种无限的形式准确地表述我所见之物。”（v.3，p.148，§144）例如，如果我说，我能够设想无限延长一根圆柱体，那么这一点已经内在于空间的本质之中。而且，这一点已内在于圆柱体与它被置于其中的空间所具有的同质性这一本质之中，而这种同质性存在于我所看到的有限的部分之中。就人的运动空间而言，情况也是如此，人的运动空间也同样是无限的。

维特根斯坦还从空间的不可分性出发来论证空间的无限性。如果有人说：“这个线段可分成若干部分”，同时又说：“这个线段是无限可分的”，那么这表明我们在这里涉及“可能”这个词的两种不同的名义。如果说空间是无限可分的，那么这种说法的真正含义就是：空间并不是由单个事物或若干部分组成。他说：“从某种意义上说，无限可分性意味着，空间是不可分的，划分与空间无关。空间与此无关，它不是由部分组成。”（v.3，p.147，§139）但是，另一方面，空间同时又对现实说：你在我处可以随心所欲，你想怎么划分就怎么划分。空间赋予现实以一种无穷的划分机会。例如，一块斑点在视觉空间中可以被分成三部分，这表示什么呢?维特根斯坦认为，这只能意味着，表述这样一块被分成三部分的斑点的句子是有意义的。在这里，他用这个事例说明空间的无限性与有限性之间的区别，或者说，空间的可能性和现实性之间的区别。

在对几何空间中的点的看法上，维特根斯坦陈述了他与罗素之间的分歧。在他看来，一个几何空间的点是以与实际对象完全不同的方式出现在我们的命题之中，换句话说，它总是作为描述实际对象的一部分出现的。一个几何空间的点描述了一种可能性，即一个物体与另一个物体相对位置的可能性。几何空间点的总体相当于可能性的总体，因而是一个有意义的命题的集。一个真命题的集被限制，是以完全不同于一个有意义的命题的集的方式被限制的。在第一种情况中，界限是由经验划定的；在第二种情况中，是通过语言的句法。经验从外限制命题，句法则是从内来限制命题。空间点的集也是从内受到限制的。经验不能给我们一个可能性系统。经验只告诉我们是什么，并没有告诉我们可能是什么。他强调“可能性并不是经验性质的概念，而是一个句法概念。罗素的根本错误在于，他总是又试图把可能性归结为现实性。因而他把描述与描述的句法混淆了”（v.3，p.169）。他接着又指出：“空间是何处的可能性，时间是何时的可能性，数目是多少的可能性。如果人们将空间、时间——或数字——与世界的偶然性质联系在一起，那就表明人们走上了完全颠倒的道路。”（同上）这就是说，空间、时间和数字是表现的形式。它们表现任何一种可能的经验；因此，如果人们把它们建立在实际经验的基础上，那就颠倒了它们本来的关系。