个体能力异质与加权多数规则

二、个体能力异质与加权多数规则

在孔多塞陪审团定理中，参与决策的个体所具有的决策能力是完全相同的。但在现实生活中，由于知识、信息、经验、阅历以及智力水平等方面的不同，个体的决策能力往往存在差异：有的个体是特定领域内经验丰富的专家，他们的能力比较强，进行正确选择和判断的概率相对较高；而有的决策者其能力则相对要差，比如不谙世事的新手。既然如此，从理论现实性的角度考虑，我们就需要思考：在个体能力存在差异的情况下（其他假设条件保持不变），集体该如何来决策？此时集体选择的合理规则又是什么？

关于个体能力异质下的最优集体选择规则，一般来说，它是按照个体先验能力大小来分配投票权数的加权多数规则（Nitzan和Paroush，1982）。至于加权多数规则的具体形式，我们令集体决策组合为{xi}，其中，xi为个体i的判决结果。对于xi，当个体认为A有罪时，它取值为1；反之它的取值则为-1。于是，作为最优决策规则的加权多数规则可以表示为：

f=sign（ni=1βixi）（2）

其中，βi为规则分配给决策能力为pi的那一个体的投票权重，它等于ln（pi/1-pi），即此个体正确决策概率与错误决策概率似然比的对数。

可以就决策规则的具体含义做一简要说明。假设陪审团有3位成员，令他们能正确作出判决的先验概率分别为0.6、0.7和0.8。与之对应，加权多数规则分别赋予个体决策的权重βi应为ln（3/2）、ln（7/3）和ln（4）。现在假设判决的结果是：前两位成员A有罪，后面一位判其无罪，由于ln（3/2）加上ln（7/3）再减去ln（4）的结果是ln（7/8），它小于0，决策规则f的取值为－1，此时按照规则集体应该判A无罪。

关于上述加权投票规则的合理性逻辑，同样可以采用最大似然估计方法来加以说明。可以证明：对于任意给定的决策组合{xi}，加权规则均会选择正确概率相对大的判决方式。不失一般性，我们假设在该决策组合中，个体1到m判A有罪，而个体m+1到n则判A无罪。根据假设我们可以得到：在个体有罪的情况下上述决策组合得以出现的概率pr为

pr=p1p2…pm（1-pm+1）…（1-pn）（3）

而个体无罪情况下，决策组合{xi}得以出现的概率ps则是

ps=（1-p1）（1-p2）…（1-pm）pm+1…pn（4）

现在，如果pr＞ps，即在个体有罪相比无罪更可能真实的情况下，由（3）和（4）可以得到

mi=1ln（pi—1-pi）＞ni=m+1ln（pi—1-pi）（5）

即

n—i=1βixi＞0（6）

进而这意味着

f=sign（n—i=1βixi）=1（7）

即此时集体决策会判A有罪。至于pr＜ps的情形，我们则可以证明：f的取值为-1，即规则判A无罪。也就是说，加权多数规则总是能够选择正确概率相对较高的判决方式，进而是此种情形下进行正确决策的最优规则。