数理经济学派

数理经济学派的先驱

虽说从杰文斯、瓦尔拉斯和帕累托起，数理经济学派才算正式形成，但研究经济现象间的数量关系，却由来已久。下面我们想简单说一下数理经济学派两位重要的先驱人物：古诺和屠能。

法国学者安东尼·奥古斯丁·古诺（Antoine Augustin Cournot，1801—1877）可说是数理经济学的鼻祖，他在其重要著作《财富理论的数学原理研究》一书中，运用数学方法（主要是微分法）对商品价值量变动与供求量变化之间的相互依存关系作了开创性研究。

古诺首先对需求规律即价格和需求之间的函数关系作了探讨，并把追求最大价值或最大收入原理作为建立需求理论的前提。他指出，一般说来，一物品越便宜，对它的需求就越大，需求量和价格之间存在一种函数关系：D＝F（P）。需求会随价格上升而下降，而对任一物品来说，销售收入是价格和销售量的乘积，即PF（P）。什么样的价格才会使PF（P）最大呢？古诺以一个矿泉水独占者为例说明，要使PF（P）达到最大值，必须将PF（P）求导并令其为0，即要使F（P）＋PF′（P）＝0来确定P，而且其二阶导数应为负值。在此例中，古诺假定生产者没有生产费用（自流矿泉水），因此，销售收入就是利润，收入极大，就是利润极大。但如果生产者成本不是零，而有生产费用，在这样的条件下，生产者竭力追求的最大值，就不是总收入，而是纯收入或PF（P）－Φ（D）的函数，式中Φ（D）是费用。显然，古诺所谓纯收入就是利润，利润极大的P，同样可通过对纯收入函数求导并令其为0求得。现在，稍有微观经济学知识的人可能会说，这样一个最浅显的常识问题，有什么稀奇！然而，对于古诺那个时代来说，却是一个了不起的发现。

古诺对“垄断”、“双头垄断”、“寡头垄断”以至“无限制竞争”（即以后所称“完全竞争”）等各种不同条件下的价格决定，都作出了数学上的解答。其中，无限竞争价格决定的结论对边际分析来说似乎更有意义。他的结论是，在无限竞争条件下，价格等于局部产量的生产费用。在生产成本会随产量而变动的情况下，它就是最后一单位产量的生产费用，即边际费用。古诺的这些分析，可说是西方经济学历史上最早运用边际分析方法对厂商理论所作的系统研究。他指出，在垄断市场上，获取最大利润的价格高于双头垄断，而产量低于双头垄断市场，随着出售者数目增加，价格越来越低，产量会越来越高，直到无限竞争为止。对于古诺来说，探索出这样的一些原理，确实显示了他作为数理学派重要先驱者的非凡智慧。

杰文斯的经济理论

威廉·斯坦利·杰文斯（William Stanley Jevons，1835—1882）是用数理方法表述边际经济理论在英国的创始人，《政治经济学理论》（1871年）是其代表作。杰文斯认为，商品价值取决于效用，但效用不是物品固有的属性，效用的产生与人的需要密切相关。效用会随商品数量增加而递减。一定量商品中最后一个增加量所提供的效用最小，这一效用量和这一商品增量的比率，杰文斯称之为“最后效用程度”。设X代表某人拥有的商品量，U代表X所提供的效用，那么，U会随X变化而变化。再假设ΔX代表X的一个增量，ΔU代表这一增量所提供的效用，那么，就是效用程度。如果ΔX变得无限小，即ΔX→0，则这个公式的极限可写成。杰文斯把现有商品量中那个无限小的最后增量的效用程度称为最后效用程度。他认为，当一种商品有多种用途时，要取得最大效用，就应当使分配在每一种用途上的商品量所得的最后效用程度相等，用公式表示是：＝。这里，X1和X2就是商品X分配在两种用途上的数量。显然，这是戈森第二定律的翻版。

杰文斯用最后效用程度理论来说明商品交换比率。他认为，市场上交换者为了要通过交换取得利益，总是要比较相交换的两种商品的最后效用程度，以决定他愿意放弃多少自己的商品，换进多少对方的商品，以便从交换中获得最大效用量。他举例说，如果甲只有谷物，乙只有牛肉，甲以一部分谷物换乙的一部分牛肉，甲乙双方通过交换后得到效用总和都会增加。假定通过交换后，甲乙两人各自拥有的一定量谷物和牛肉中，10磅谷物和1磅牛肉的边际效用对甲乙两人来说相等，那么，交换将停止进行，两者交换比率便确定为10磅谷物换1磅牛肉。这是因为，随着交换的进行，甲拥有的谷物量逐渐减少，牛肉量逐渐增加；乙的情况则相反。只要甲觉得10磅谷物对他的边际效用还不及1磅牛肉的边际效用大，乙也觉得1磅牛肉的边际效用不如10磅谷物的边际效用大，甲乙双方都将从交换商品中得益，因而交换会继续进行下去；但随着甲身边谷物的减少，谷物的最后效用程度逐渐增加，而随着他身边牛肉的增加，牛肉对他的最后效用程度将逐渐减少，对乙来说，情况则相反，交换将进行到甲乙两人拥有这两种商品的效用对于甲乙双方都恰好相等为止。如果再交换下去，甲乙双方所得效用都要小于所失效用。

杰文斯还用建立在最后效用程度理论基础上的交换论来说明，一个人应当劳动多少才能给自己带来最大的效用。他提出，劳动变化的法则是，劳动本身带来的痛苦会随劳动量增加而递减。人们在劳动中，先会经历一段不适应引起的痛苦，等越过不再痛苦的时刻，感到的就是快乐。随着劳动时间的延长，快乐逐渐下落，待越过不再快乐时刻之后，愉快转化为痛苦，而且继续劳动下去，痛苦按递增速度增加。另一方面，劳动又是一个获得报酬从而得到效用的过程。劳动产品能给劳动者带来效用。但效用变化服从于效用递减规律。当劳动者从产品中得到的边际效用，等于劳动本身引起的边际痛苦（边际负效用）时，就会中止劳动。这时，他从劳动中得到的总和效用最大。上述分析可用图7-1表示。

图7-1　劳动时间决定

图7-1中横轴表示劳动时间，也是劳动产品量（因为时间长，产品也多）。纵轴的正区间表示快乐或效用，负区间表示痛苦或负效用，abcd曲线表示劳动本身的感受变化，pq曲线表示劳动产品效用的变化。在m点上，qm＝dm，表示劳动带来的效用（实际是产品带来的效用）与负效用相抵消。增加劳动会使dm＞qm，净增是痛苦，劳动者减少劳动有利；若减少劳动使dm＜qm，净增是效用，继续增加劳动有利，只有在m点上，劳动量分配最为合理。他还用微积分符号表达上述原理：＝· ，或简写成为＝，即当最后痛苦程度等于最后效用程度时，劳动者从一定的劳动（t长度的劳动时间）中获得的效用最大。根据这一原理，他认为，劳动者增加还是减少劳动，取决于追加商品的效用与延长劳动时间带来的痛苦这两者间的权衡，并认为只有生活必需品的劳动者，其生产物越少劳动越勤奋，其生产物越多劳动越松弛。劳动时间随工人真实工资增加而减少这一趋势表明，各种普通工人似乎一般更愿意增加其闲暇而非财富；劳动的痛苦会迅速增加，将效用增加抵消。这一原则也适用于一些经营成功的富裕商人。但对于律师、医生尤其是科学家和艺术家等高级劳动者来说，即使劳动取得成功，他们仍能够以新的努力和激情工作。杰文斯这些理论，有一些显然与事实不符。一是在资本主义制度下劳动者究竟劳动多少，并非取决于追加劳动所获得的商品的效用与延长劳动的痛苦这两者的权衡比较，而是取决于他们为取得基本生活必需品至少要劳动多少时间以及雇主的劳动纪律。雇主要你每天劳动10小时，你作为雇员，敢劳动9小时吗？除非你有能力不靠雇佣劳动而生活，你就必须劳动10小时。二是把普通劳动者和富裕商人看作一样的人，也不合实际，富裕商人根本就不存在延长劳动时间有多大痛苦之事。但杰文斯上述理论中也含有一些有价值的观点。他关于劳动量分配的原则，即根据追加劳动带来的效用和负效用权衡比较的原则，实际上是为后来新古典经济学家关于劳动者如何根据工资率来安排劳动时间和闲暇的理论以及后弯劳动供给曲线的理论吹响了序曲。他关于科学家和艺术家的创造性思维的劳动不遵循劳动效用和负效用比较原则的论述也是符合实际的。杰文斯对地租、工资、利润及资本四者问题，也都有自己的理论，而且对这些理论的分析也都采用数学分析的方法，足见他确是数理经济学的开拓者之一。

瓦尔拉斯的一般均衡论

马力－爱斯普利·莱昴·瓦尔拉斯（Marie－Esprit Leon Walras，1834—1901）是法国著名经济学家、洛桑学派创始人，曾长期在洛桑大学任教。其代表作是《纯粹政治经济学纲要》（1873年写成，1874年和1877年分两卷出版）。他在书中所建立的一般均衡理论在西方经济学说史上具有极重要的影响。他的一般均衡分析，用数学方法加以表述，从而也就与杰文斯一起成为数理学派的创始人。

瓦尔拉斯在他的纯理论经济学中，也把人类最大效用原则作为他们全部行为的准则，以经济人最终如何获得最大效用作为经济学研究对象，把理论经济学研究范围限定在资源合理使用或最优配置领域内。他与杰文斯以及下面要讨论到的阿·马歇尔的区别在于，不是讨论局部均衡，而是试图揭示经济现象的普遍联系，即一般均衡，从而不能再局限于运用简单方程式，而需要用解联立方程式的方法。

瓦尔拉斯认为，需求是价格的递减函数。个人需求是如此，社会总需求也是如此。A和B的总需求方程式是Da＝Fa（Pa）和Db＝Fb（Pb）。将这两个总需求方程和上述两个供求平衡方程式联立，便可决定A、B各自的均衡价格Pa和Pb。这就是说，从需求函数求得了均衡价格。

上面说的是A、B两种商品相交换，有四个未知数和四个方程式，当有m种商品互相交换时，就有2m（m－1）个方程式去求解2m（m－1）个未知数，这些方程式是：①m（m－1）个有效需求方程式，表明每种商品的需求Da，b、Dc，b、Dd，b……是该商品以及其他各种商品的价格Pa，b、Pc，b、Pd，b……的函数（在此，Da，b表示以B表示的A的需求，Pa，b表示以B表示的A的价格，Pa，b上升时，即A能换得越来越多的B时，Da，b就递减）；②（m－1）（m－1）个一般均衡方程式，表示任何两种商品之一以另一种商品表示的价格（Pa，b和Pb，a），等于这两种商品以任何第三种商品来表示的价格（Pa，c和Pb，c）的比率；③m－1个交换方程式，表明由所有其他商品表示，并与之交换的每一种商品的需求与供给相等。求解的未知数是，m种商品彼此互相表示的m（m－1）个价格，m种商品彼此互相交换的m（m－1）个数量。通过这种方式，设需求方程式为一定，便可用数学方法决定价格。上述在理论上通过数学方法解决的问题，在市场上是通过摸索过程及价格上下波动解决的。

上述交换理论只是解释了产品均衡价格的形成。然而，产品是由各种生产要素（土地、人力及资本财货）结合起来生产的，产品价格必然受到各种生产性劳动价格即地租、工资和利息的影响，因此，必须研究生产性劳动价格的形成，及其如何与产品价格的形成结合在一起同时被决定。

在瓦尔拉斯体系中，有四个经济主体：土地所有者（地主）、人力所有者（工人）、资本所有者（资本家）和生产组织者（企业家）。他们在市场上相互联系。生产均衡要求：第一，生产性劳务市场供求一致，确立生产劳务价格（工资、利息、地租、利润），它通过生产性劳动市场上生产性劳务所有者与企业家之间的竞争来完成；第二，产品市场供求一致，确立产品价格，它通过产品购买者与售卖者之间的竞争达到；第三，产品出售价格与生产该产品的生产劳务的成本相等，它通过企业家追求利润为目的的生产活动实现。

瓦尔拉斯接着建立一套方程体系来说明生产处于均衡时产品和生产性劳务的价格如何同时决定。同样，生产方程组在数学上的解，在现实经济生活中是通过市场上自由竞争得到的，但趋于生产均衡的摸索过程更为复杂，因为人们不但需要调整产品以及生产要素的价格，而且需要调整生产的产品数量及由此需要的生产性劳务的数量。瓦尔拉斯认为，地主、工人和资本家提供或保留所持有的生产性劳务，也要受最大欲望满足原则支配，即交换后，他们供给的生产性劳务的交换价值与保留直接消费的劳务的稀少性成比例。

瓦尔拉斯的一般均衡理论在经济学说史上有着重大而深远的影响。他提出的实现生产一般均衡的种种前提条件，包括完全竞争、信息充分等等，在现实生活中几乎不可能存在。然而，正如无摩擦的物体运动只有在真空中才有可能的事实，不等于有关无摩擦运动的力学定律没有意义一样，瓦尔拉斯的一般均衡理论揭示了经济生活中各种产品和要素之间存在着相互供求、相互影响的错综复杂的关系，也揭示了通过竞争的价格机制对实现资源优化配置的重大意义。从经济学方法角度看，它也说明了哪怕是初等数学工具也是经济研究中不可或缺的。

由于瓦尔拉斯以边际效用论为基础展开一般均衡分析存在着不少局限，因此他的后继者帕累托对它加以改造，使这一理论进一步得到发展。

帕累托的主要贡献

维尔费雷多·帕累托（Vilfredo Pareto，1848—1923）是瓦尔拉斯亲自物色到的接任自己在瑞士洛桑大学讲席的著名学者，是洛桑学派的另一位创建人，他致力于阐述瓦尔拉斯的一般均衡理论，并在多方面作出了重大发展，其主要学术贡献包括以下三个方面。

第一，提出序数效用论和无差异曲线。帕累托同意前人提出的边际效用价值论的基本思想，并提出要用“满足欲望的能力”表示“效用”，用“基本满足欲望的能力”表示“边际效用”。但是，他认为效用是难以用具体的数字加以衡量的。而在他以前的一些边际主义者尤其是奥国学派总认为，效用可以假定用基数（1，2，3，…）来计量，这可称为基数效用论。帕累托则认为，效用确实是消费者个人的偏好，但作为心理活动却无法用数字加以估量，然而可以对各种物品的效用的大小进行比较，就是说，人们的偏好虽无法作加减计算，但可以根据偏好程度作序数（第一、第二、第三等等）排列。例如，若人们面前有1千克酒加1千克面包，或1．2千克酒加0．9千克面包，我们无法判断前一组合的效用究竟比后一组合的效用是大多少或小多少，但可以判断前者效用比后者大还是小，或是一样大小，即更偏好前者还是后者，或是偏好无差异。如果存在有这样两组无差异偏好的组合，就完全有可能存在更多无差异偏好的组合，假定这些组合是：帕累托把这种可以无限扩大的序列称为无差异序列，并把无差异序列的值标在坐标图上作出一条无差异曲线，如图7-2所示。在图7-2中，OA表示面包量，OB表示酒量。如果以Oa表示1千克面包，Ob表示1千克酒，则m点上就表示这一组合，把同样偏好的不同组合点连接起来，就可以得到一条无差异曲线nms。如果某消费者有更大值的无差异序列（例如1．1千克面包和1．1千克酒，1．4千克面包和1千克酒等等），则可以作出另一条在nms曲线右上方的无差异曲线n′m′s′。同样，也可以有表示更小值的无差异曲线在nms曲线左下方。总之，可以有表示各种不同值的无数条无差异曲线布满在OBA表示的这个坐标图平面上，形成一个无差异曲线群。帕累托还根据形成无差异序列的各种商品之间相互关系的性质，提出无差异曲线有多种不同的形状。例如，形成无差异序列组合的A和B之间是互补的，还是互相替代的，还是相互完全不能替代的，如果有替代关系，那么是部分可替代，还是完全可替代，根据这些不同的关系，可作出不同形状的无差异曲线。他还提出了不同形状的无差异曲线也有一些共同点，还曾说明他的无差异曲线是来自经济学家艾奇渥斯的契约曲线的启发。

图7-2　无差异曲线

第二，提出“帕累托最适度”的社会经济福利的论题。这是一个关于集体的满足达于最大化的标准问题。这是现代新福利经济学中一个重要的论点。对这个论点，帕累托有过几次论述。一次论述的大意是：一个集体的各成员，如果处在这样一种条件下，便会享受最大限度欲望满足，这种条件是，不可能发现任何一种稍微离开这一状态就使他们所享受的满足增加或减少的方式。这就是说，任何偏离这一状态的微小变动，必然造成一些人乐于接受，而另一些人难以接受的后果。打个比方说，如果某种物品分配方式能够使集体内的各成员得到的享受达到最大，这种方式一定具有这样的特点：稍微偏离一点这种方式，就会造成使他们获得的享受减少的后果。

帕累托在另一处又作出论述，其大意是：如果对一种状态或者说方法作了一点变动，集体中每个成员福利会增加，说明原来的状态不是最优的，没有达到最适度状态，而对它所作的变动，使大家福利增加，这种变动是一种改进。这被后人称为“帕累托改进”。如果对一种状态所作的变动，使大家获得的福利比没有变动时更小，这种新状态当然也不是最适度的。如果一种变动使一部分成员福利增加了，另一些成员福利减少了，则这种变动所造成的状态也不属于“最适度状态”。

后人把这种“最适度状态”称为“帕累托最适度状态”，或者说“帕累托最优状态”。概括地说，“帕累托最适度”是指集体或全社会范围内的一种均衡状态，在这种状态下，全体成员的欲望满足不能减少，也不能再有增加，也不存在一部分人的满足增加而另一部分人的满足减少的情况。

怎样才能实现这种最适度状态？帕累托认为，在完全的自由竞争的条件下，这种最适度的均衡状态，无论在交换中还是在生产中都有可能达到。帕累托的均衡思想实际上包含一个理念：自由竞争将使人类获得最大限度的福利，任何一种强制，包括政府的强制，都有可能降低社会福利。

第三，提出收入分配的“帕累托定律”。帕累托根据英、法、德、美、奥等国统计材料，提出了一个经验性分配定律。这个定律阐述不同水平的收入和获得这些收入的人数之间的函数关系。帕累托定律的基本公式是logN＝logA－αlogx，式中x表示一定量收入，N表示高于该收入的获得者的人数，A和α是从统计材料中获得的常数。他通过对一些收入分配的统计资料的分析，还整理得到了一条分配曲线，用以描绘公式显示的定律。曲线显示，无论从不同国家或同一国家的不同时期看，如果根据收入水平对社会成员进行分组，国民收入在各社会成员之间的分配情况显示出一种极为稳定的关系。这可用图7-3表示。

曲线上各点表示社会上各不同阶层的收入水平的人数和收入指数，收入高的人数少，收入低的人数多。历史统计资料显示的就是这样一种不平等的收入分配状况，而且基本上是稳定的。他还认为，形成这种现象的根本原因要从人的本性中去探求，而与经济组织和经济条件无关，除非总收入或者说一国财富总量比人口增加得更快，否则减少收入不平等就是一句空话。言外之意是，想在现有国民收入水平上搞收入均等化一类改革是无济于事的。值得一提的是，几十年后，美国经济学家库兹涅茨又提出了一条经济增长与收入分配差距变动关系的倒U形曲线，使帕累托分配曲线得到了很大的补充、修正与发展。

图7-3　帕累托分配曲线