2．网络计划的资源优化
任何一个项目都需要消耗一定的资源才能完成，而在一定时间内，由于某些客观因素的影响，能够提供的各种资源的数量往往是有限的，这就存在一个如何合理利用这些有限资源的问题。对于一个项目来说，如果安排得不合理，就可能在计划工期内的某些时段出现资源需求的“高峰”，而在另一时段内则可能出现资源需求的“低谷”。当“高峰”和“低谷”相差很大时，如果计划的某些时段内资源需求量超出最大可供应量，则会造成“供不应求”，导致工期延误；而当出现资源需求低谷时，就可能造成资源的大量积压。这种资源消耗的不均衡，必然会影响项目目标的实现。网络计划的资源优化，就是力求解决这种资源的供需矛盾或实现资源的均衡利用，以保证项目的顺利完成，并取得良好效果。
资源优化通常有两个目标：一是对于一个确定的网络计划，当可供使用的资源有限时，如何合理安排各项工作的进展，使得完成计划的总工期最短；二是对于一个确定的网络计划，当总工期一定时，如何合理安排各项工作，使得在整个计划期内所需要的资源比较均衡。这两个目标通常又称为“资源有限，工期最短”和“工期一定，资源均衡”。
2.1“资源有限，工期最短”的优化
“资源有限，工期最短”的优化，是指通过优化，使单位时间内资源的最大需求量小于资源限量，而为此需延长的工期最少，使“工期最短”。
“资源有限，工期最短”的优化，必须在网络计划编制后进行。这种优化不能改变各工作之间的先后顺序关系、网络计划中各项工作的持续时间不予变更、需保持工作连续性（除规定的可中断的工作外，一般不容许中断工作），考虑到以上约束条件，使用数学方法求解变得复杂，目前解决这类问题的计算方法往往都只能得到一个较优的方案，难以得到最优方案。
“资源有限，工期最短”的优化，宜逐步对各“时间单位”进行资源检查，当出现第t个时间单位资源需用量Rt大于资源限量Ra时，应进行计划调整。资源调整时，应对资源冲突的各项工作的开始和结束时间做出新的安排，其选择标准是“工期延长时间最短”。
（1）计算公式
网络计划的类型不同，计算公式亦不相同。
①双代号网络计划
ΔDm′n′，i′j′=min{△Dmn,ij}
△Dmn，ij=EFmn－LSij
式中，△Dm′n′，i′j′——在各种顺序安排中，最佳顺序安排所对应的工期延长时间的最小值，它要求将LSi′j′最大的工作i′j′安排在EFm′n′最小的工作m′n′之后进行；
△Dmn,ij——在资源冲突的各项工作中，工作ij安排在工作mn之后进行，工期所延长的时间。
②单代号网络计划
ΔDm′，i′=min{△Dm,i}
△Dm，i=EFm－LSi
式中，△Dm′，i′——在各种顺序安排中，最佳顺序安排所对应的工期延长时间的最小值；
△Dm,i——在资源冲突的各项工作中，工作i安排在工作m之后进行，工期所延长的时间。
例6.9假设有两项工作i和j，资源有冲突，不能同时进行，i和j的有关网络参数如表6.8所示，试安排两项工作的顺序。
表6.8 工作i和j的有关网络参数
为分析问题直观起见，将两项工作表示在时间坐标中，如图6.38。
图6.38 工作安排对工期的影响
由图6.38可得，如果将工作j安排在工作i之后进行，则工期延长：
△Di,j=EFi+Dj－LFj=EFi－LSj=15－14=1天
如果将工作i安排在工作j之后进行，则工期延长：
△Dj,i=EFj－LSi=17－10=7天
显然，应当选择第一种方案。
根据上述原理，在确定需要调整工作的次序时，应将资源发生冲突的各项工作每次取两个进行排列，列出各种可能的调整方案，然后逐一计算其延长时间，最后根据延长时间最短的原则确定调整方案。
（2）“资源有限，工期最短”的优化的一般步骤
第一步：计算网络计划每“时间单位”的资源需用量。
第二步：从计划开始之日起，逐个检查每个时间单位资源需用量是否超出资源限量。若在整个工期内每个“时间单位”均能满足资源限量要求，可行优化方案即编制完成，否则必须进行计划调整。
第三步：分析超过资源限量的时段，即每“时间单位”资源需用量相同的时间区段，计算△Dm′n′，i′j′或△Dm′,i′值，并依据此确定新的安排顺序。
第四步：若最早完成时间EFm′n′或EFm′最小值和最迟开始时间LSi′j′或LSi′最大值同属一个工作，应找出最早完成时间为次小，最迟开始时间为次大的工作，分别组成两个顺序方案，再从中选取较小者进行调整。
第五步：绘制调整后的网络计划，重复上述步骤，直到满足要求为止。
（3）“资源有限，工期最短”优化示例
例6.10某项目时间坐标网络计划如图6.39所示。图中方点线表示自由时差；箭线下方标注的数据为相应工作的持续时间，上方是工作所需某工种人力资源强度（人／天）。若每天只有9个该工种工人可供使用，如何安排各工作的最早开始时间才能使工期最短。
图6.39 某项目时间坐标网络计划
优化步骤：
第一步：计算每日资源需用量。计算结果如表6.9所示。
表6.9 每日所需人力资源数量表
第二步：逐日检查资源需求量，并与资源限量比较。
由表6.9可见，第一天资源需要量就超过了可供资源量，必须进行工作最早开始时间的调整。
第三步：分析资源超限的时段。
从第1—6天，资源需要量均为13，超出了资源限量，在这一时段内有工作1—2、1—3和1—4。
第四步：确定需要调整工作的顺序。
本例中，工作l—2、1—3和1—4有资源冲突，其网络参数如表6.10所示。
表6.10 工作参数表
将上述三项工作进行两两排列，组成不同方案，并计算其工期延长时间，计算结果见表6.11。
表6.11 △D计算表
由表6.11可见，将各种l—4置于1—3之后，工期未增加。按此方案调整，并绘制新的网络计划，如图6.40所示。
图6.40 第一次优化示意图
根据第一次调整方案，逐日计算资源需求量，如表6.12所示。
表6.12 第一次优化后每日所需人力资源数量表
第五步：重复上述步骤。
可见，在第9天，资源需求超出限量，这时的工作有1—4、2—4、2—5、2—3，计算各方案的工期延长值，结果见表6.13。
表6.13 第一次优化后△D计算表
由表6.13可以看出，工期延长最小值为-8，故将工作2—5安排在工作2—3之后进行；但剩余工作1—4、2—4及2—3的资源需要量为10，仍超出限量，尚需继续调整。根据表6.13，考虑剩余的与2—5工作无关的△D的最小值，由表可知，最小值是△D32=1，即将工作2—4安排在工作2—3之后进行，但工期延长了l天。绘制调整后的网络图，如图6.41。
图6.41 第二次优化示意图
根据第二次调整方案，逐日计算资源需求量，如表6.14所示。
表6.14 第二次优化后每日所需人力资源数量表
第六步：重复上述步骤。
可见，在第10—12天，资源需求超出限量，这时的工作有1—4、2—4、2—5、3—5，计算各方案的工期延长值，结果见表6.15。
表6.15 第二次优化后△D计算表
由表6.15可以看出，工期延长最小值为-3，故将工作2—5安排在工作1—4之后进行，绘制调整后的网络图，如图6.42。
图6.42 第三次优化示意图
根据第三次调整方案，逐日计算资源需求量，如表6.16所示。
表6.16 第三次优化后每日所需人力资源数量表
第六步：重复上述步骤。
可见，在第10—15天，资源需求超出限量，这时的工作有1—4、2—4、3—5，计算各方案的工期延长值，结果见表6.17。
表6.17 第三次优化后△D计算表
由表可知，最小值是△D13=1，即将工作3—5安排在工作1—4之后进行，但工期延长了l天。绘制调整后的网络图，如图6.43。
图6.43 第四次优化示意图
根据第三次调整方案，逐日计算资源需求量，如表6.18所示。
表6.18 第四次优化后每日所需人力资源数量表
此时，已满足资源限量要求，得到最终优化方案，工期延长了2天。
2.2“工期固定，资源均衡”的优化
工期固定，是指要求项目在国家颁布的工期定额、甲乙双方签订的合同工期或上级机关下达的工期指标范围内完成。一般情况下，网络计划的工期不能超过这些规定。资源均衡问题是在可用资源数量充足并保持工期不变的前提下，通过调整部分非关键工作进度的方法，使资源的需求量随着时间的变化趋于平稳的过程。随着情况的不同，资源本身的性质不同，资源平衡的目标亦有区别。但就一般情况而言，理想的资源计划安排应是平行于时间坐标轴的一条直线，即日资源需求量保持不变，如图6.44所示。
图6.44 资源消耗情况
实际上，资源计划安排难以达到理想状态，但可以通过调整工作的时间参数使资源需求量在理想情况的上下范围内波动。
资源均衡的优化方法有多种，比如方差值最小法、极差值最小法、削峰填谷法。常用削峰填谷法，也称为削高峰法，是一种启发式方法。这里主要介绍削峰填谷法。
（1）削峰填谷法的基本步骤
第一步：计算网络计划每时间单位资源需要量。
第二步：确定削峰目标，其数值等于每时间单位资源需要量的最大值减去一个单位量。
第三步：确定高峰时段的最后时间点及相关工作的最早开始时间和总时差。
第四步：计算有关工作的时间差值。
对于双代号网络计划：△Tij=TFij－（Th－ESij）
对于单代号网络计划：△Ti=TFi－（Th－ESi）
式中，△Tij、△Ti——分别为双代号网络计划和单代号网络计划工作的时间差值；
Th——高峰时段的最后时间点。
优先以时间差值最大的工作i′j′或i′作为调整对象，令
ESi′j′=Th或ESi′=Th
第五步：若峰值不能再减少，即求得均衡优化方案；否则，重复以上过程。
（2）“工期固定，资源均衡”优化示例
例6.11某项目网络计划如图6.45所示。图中箭线下方的数据是持续时间，上方的数据是工作的资源强度。用“削高峰法”进行资源均衡优化。
图6.45 某项目网络计划
优化步骤：
第一步：计算网络参数，并按最早开始时间绘制时间坐标网络，见图6.46。图中方点线表示自由时差。
图6.46 某项目时标网络计划
第二步：逐日计算资源需用量，见表6.19。
表6.19 每日所需资源数量表
第三步：确定资源限量。
找出整个计划中资源需求量的高峰值及其所在时段。根据资源的高峰值设置一个调整的“控制标准”，该标准即为资源限量。一般是将资源高峰值减去一个单位作为资源限量。优化时将峰值降低一个单位值，然后按每次降低一个单位量进行优化，直至“基本削平”。
本例中，峰值是第5天的11，故控制标准为：
R=11－1=10
第四步：分析资源用量的高峰并进行调整。
根据表6.19中的资源数量，可以确定资源超限的状况。对超过限值的时间区段中每一个工作ij是否能调整，根据时间差值加以判别：
若△Tij（或△Ti）≥0，则该工作可以向右移动至高峰值之后，即移动（Th－ESij）时间单位；否则，该工作不能移动。
当在需要调整的时段中，使上述不等式成立的工作有若干项，则应按时间差值的大小顺序，最大值的优先移动；如果时间差值相同，则应考虑资源需用量小的优先移动。
本例中，第5天的资源需要量是11，超过R=10的限量。由图6.46可见，第5天正在进行的工作有：2—5、2—4、3—6、3—10，分别计算其时间差值△Tij：
△T25=TF25-（Th-ES25）=2－（5-4）=1
△T24=TF24-（Th-ES24）=0－（5-4）=－1
△T36=TF36-（Th-ES36）=12－（5-3）=10
△T310=TF310-（Th-ES310）=15－（5-3）=13
可见，工作2—5、3—6、3—10都可以移动，其中工作3—10的时间差值最大，故优先将该工作向右移动2天（即第5天之后开始），见图6.47。
图6.47 第一次调整结果
重新计算每日资源需要量，见表6.20。
表6.20 第一次调整后每日所需资源数量表
根据第一次调整情况，观察其峰值变化状况，如果在其他时段出现超过R的情况时，则重复第四步，直至不超过R为止。本例中，工作3～10调整后，其他时段未出现超过峰值R=10的情况。
第二次调整：经第一次调整后，资源量最大为9，故削峰目标确定为8。逐日检查至第5天，其资源数量超过了削峰目标值。第5天正在进行的工作有：2～4、3～6和2～5，计算各工作的时间差值：
△T25=TF25-（Th-ES25）=2－（5-4）=1
△T24=TF24-（Th-ES24）=0－（5-4）=－1
△T36=TF36-（Th-ES36）=12－（5-3）=10
其中，工作3～6的时间差值最大，故优先调整工作3～6，将其向后移动2天（即第5天以后开始），资源数量变化见表6.21。
表6.21 第二次（1）调整后每日所需资源数量表
由表可见，第6、7两天的资源数量又超过8，有工作2～5、2～4、3～10和3～6，计算各工作的时间差值：
△T25=TF25-（Th-ES25）=2－（7-4）=－1
△T24=TF24-（Th-ES24）=0－（7-4）=－3
△T36=TF36-（Th-ES36）=10－（7-5）=8
△T310=TF310-（Th-ES310）=13－（7-5）=11
根据调整对象选择原则，应选择时间差值最大的工作3～10进行调整，但由于其资源需要量仅为2，移动它仍不能使资源强度降至资源限量8以下，故选择工作3～6进行调整，将其向右移动2天，相应资源需要量的变化情况如表6.22所示。
表6.22 第二次（2）调整后每日所需资源数量表
由表6.22可知，在第8、9两天资源需用量超过了资源限量8，这时有工作2—4、3—6和3—10，分别计算其时间差值：
△T24=TF24-（Th-ES24）=0－（9-4）=－5
△T36=TF36-（Th-ES36）=8－（9-7）=6
△T310=TF310-（Th-ES310）=13－（9-5）=9
选择时间差值最大的工作3—10优先调整，向右移动4天（即第9天以后开始），每日资源需要量的变化见表6.23。
表6.23 第二次（3）调整后每日所需资源数量表
在第10—13天，资源需用量超出了资源限量8，这时有工作5—7、4—6、3—10和6—9，分别计算其时间差值：
△T57=TF57-（Th-ES57）=0－（13-9）=－4△T46=TF46-（Th-ES46）=5－（13-9）=1△T310=TF310-（Th-ES310）=9－（13-9）=5
工作4—6必须与工作6—9同时移动。
选择时间差值大的工作3—10向右移动4天（从第13天以后开始），计算每日资源需要量，见表6.24。
表6.24 第二次（4）调整后每日所需资源数量表
由计算结果发现，第14天的资源需要量仍超出资源限量8，这时有工作5—7、3—10和6—9，分别计算其时间差值：
△T57=TF57-（Th-ES57）=0－（14-9）=－5
△T69=TF69-（Th-ES69）=5－（14-12）=3
△T310=TF310-（Th-ES310）=5－（14-13）=4
可将工作3—10再后移1天，并计算每日资源需要量，见表6.25。
表6.25 第二次（5）调整后每日所需资源数量表
由表6.25可见，通过第二次调整，每日资源数量已满足资源限量R=8的要求，第二次调整结束，其结果见图6.48。
图6.48 第二次调整结果
第三次调整：由表6.25可见，资源需求量最大值为8，故削峰目标定为7。逐日检查，第10—12天的资源数量超过了削峰目标值，故n=12。在该时段内，有工作4—6和5—7，分别计算其时间差值：
△T57=TF57-（Th-ES57）=0－（12-9）=－3
△T46=TF46-（Th-ES46）=5－（12-9）=2
选择工作4—6为调整对象，向右移动3天，即第12天后开始，由于工作4—6无自由时差，故必须与工作6—9同时移动。计算每日资源数量，见表6.26。
表6.26 第三次（1）调整后每日所需资源数量表
可见，第13—17天的资源需要量超过了削峰目标值R=7。在该时段，有工作5—7、
4—6、6—9、7—8和3—10。但要保持工期不变，能够移到第18天后开始的工作只有3—10，即使这样，在第13—14天仍不能解决资源需求量超过削峰目标的问题。从上述计算出的时间差值可见，工作4—6尚有2天可以利用，因此先考虑13—14天的资源均衡问题。在这一时段，有工作4—6和5—7，分别计算出其时间差值：
△T57=TF57-（Th-ES57）=0－（14-9）=－5
△T46=TF46-（Th-ES46）=2－（14-12）=0
工作4—6再向右移动2天，工作6—9同时移动2天，每日资源数量变化如表6.27所示。
表6.27 第三次（2）调整后每日所需资源数量表
可见，第15—18天的资源数量超过R=7的资源限量，该时段有工作7—8、4—6和3—10，计算其时间差值：
△T78=TF57-（Th-ES78）=0－（18-14）=－4
△T46=TF46-（Th-ES46）=0－（18-14）=－4
△T310=TF310-（Th-ES310）=4－（18-14）=0
选择工作3—10调整，向右移动4天，即第18天后开始，计算资源数量，见表6.28。
表6.28 第三次（3）调整后每日所需资源数量表
第19天的资源数量超过R=7的限量，但此时所有工作都已不能再向右移动。
第五步：按上述步骤计算到所有工作不能再向右移动为止，再考虑能否向左移动。由表6.28可知，工作4—6不能向左移动（因为超过资源限量R=7），而工作3—10的最早开始时间为第3天，在第3—18天的时段中，第10—14天的资源数量是5，若工作3—10移动到第10天以后开始，就能满足资源限量R=7的要求，见表6.29。
表6.29 资源均衡完成后每日所需资源数量表
至此，资源数量高峰值已不能再降低，资源均衡结束。绘制调整后的网络计划，如图所示6.49。
图6.49 资源均衡调整结果
通过本示例可见，资源均衡的计算是非常繁琐的，且上述方法仅考虑单资源均衡问题，实际上项目的资源均衡问题更多的是多资源。关于多资源均衡问题，目前尚无理想方法。
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