确定型存储模型实际应用

时间：2022-06-09 百科知识版权反馈

【摘要】：子任务6.1　确定型存储模型实际应用6.1.1　任务引入　某公司全年需要某种零件1200件，每订购一次的订购成本为400元，每件零件年储存成本为6元。人们在供应与需求这两个环节之间加入了存储这一环节，就能起到缓解供应与需求之间的不协调性，以此作为研究对象，利用运筹学的方法去解决最合理、最经济的存储问题。这样规定的目的是将一个实际存储问题简化，便于直观分析。

子任务6.1　确定型存储模型实际应用

6.1.1　任务引入

【任务6-1】　某公司全年需要某种零件1200件，每订购一次的订购成本为400元，每件零件年储存成本为6元。问最经济的订购批量是多少？

【任务6-2】　某企业每天需要某种元器件100个，每个器件月保管费为0.3元，每次订货费为36元，求最佳订货量和订货周期（不允许缺货，瞬时可以补充，每月按30天计算）。

【任务6-3】　某工厂每月需甲产品100件，每月生产率为500件，每批装配费为5元，每月每件产品的存储费为0.4元，求最佳生产批量和最低费用。

【任务6-4】　某公司每月需一种零件2400个，可以通过自行生产也可进行采购。如果自行生产，需要生产准备费用为150元，成本为每个3元，生产能力为每天100个；如果外出采购，每次的订货费用为100元，零件的单价为3.2元。每个零件的月库存费为0.1元。问该公司应该采取哪种决策才能使得总费用最低（每月按30天计算）。

【任务6-5】　某公司对某种原材料的采购和存储可以用模型四进行描述。如果C₁=0.4元，C₂=0.15元，C₃=5元，R=100件，试求出该公司的最大库存量和最低费用。

【任务6-6】　某企业总经理一贯采取不允许缺货的经济批量公式来确定订货批量，因为他认为缺货虽然随后可以补上但总不是好事。但由于竞争激烈，他又不得不考虑采取允许缺货的策略。已知对该企业所销产品的年需求量为800件，每次的订货费用为150元，单位产品每年的存储费为3元，发生短缺时的单位产品每年损失费用为20元，试回答下面的问题：

①计算该企业采用允许缺货的策略和原先不允许缺货的策略所带来的费用上的节约。

②如果该企业为保持一定的信誉，自己规定缺货随后补上的数量不得超过总量的15%，任何一名顾客因供应不及时需要等待下批货到达补上的时间不得超过3周，问在这种情况下，允许缺货的策略能否被采用？

【任务6-7】　某工厂每年需求某种元件R=5000个，保管费为C₁=10元/（件・次-1），每次订购费C₃=500元。每件单价k（元）随着采购数量Q的不同而不同：满足k（Q）试确定该工厂的最佳订货量。

【任务6-8】　某公司需求一种零部件，每天的需求量为100个。每个零部件每天的存储费用为0.01元，订货费为36元。若订货量超过1000个（包括1000个），每个零部件的价格为10元，否则为11元。问该公司应该如何确定最佳订货量。

6.1.2　任务分析

以上几个类型的问题，人们在日常生活或生产实践中常常会遇到，也是本章将要学习的储存问题。储存问题在解决如何合理地使用资金、改善企业经营管理手段、降低成本及消耗方面能给决策者提供一些有效的方法。

人们在日常生活或生产活动中往往把所需要的物资、食物或用品暂时储存起来，以备将来使用或消费。这种储存物品的现象目的是为了解决供应（生产）与需求（消费）之间的不协调性的一种重要手段。这种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时期的不一致性，出现供不应求或供过于求。人们在供应与需求这两个环节之间加入了存储这一环节，就能起到缓解供应与需求之间的不协调性，以此作为研究对象，利用运筹学的方法去解决最合理、最经济的存储问题。

①例如，一场战斗，在1到2天的时间可能需要消耗几百万发炮弹，而工厂不可能在这么短时间内生产出这么多炮弹，这就需要解决供需之间的不协调性。为解决这类矛盾，只能将工厂每天生产的炮弹储存到军火库内，一旦发生战争才能满足大量消耗炮弹的需求。

②一座水力发电站，每天都要消耗一定的水量以推动水轮发电机正常运转。如果在夏季时不把大量雨水积存起来，到冬季枯水期时，就会缺少足够的水量推动机器造成浪费。为此，通过修建水库，把雨水积存起来，供全年平均使用。

③在商店里如果存储商品数量的不足，会发生产品短缺现象，失去销售机会而减少了利润；如果存储量过多，一时售不出去，则会造成商品的积压，占用流动资金过多且造成周转不良，从而也会给商家造成经济损失。当然，顾客购买何种商品以及购买多少，都带有随机性，在这种情况下，商店管理人员就应该研究有关商品的合理存储问题。

诸如此类与存储量有关的问题，需要人们做出决策，在长期实践中不断积累经验，摸索规律。专门研究这类有关存储问题的学科，构成了运筹学的一个重要分支，称为存储论（也称库存论）。它用定量的方法描述存储物品供求关系的动态过程和存储状态，描述存储状态的费用之间的关系，并确定经济合理的供应策略，从而为人们提供定量的决策依据和有价值的定性指导。

在生产过程中往往组织成批地生产零件或产品，上下工序之间都以成批的零件或产品进行周转。那么批量多大才算经济合理，需要进一步研究。下面讨论几种典型的经济订货批量的存储模型，简记EOQ模型。

子任务6.1所有讨论的存储模型中的期与量的参数都是确定性的，所讨论的一种货物的存储期与量同其他物品的存储期与量相互之间没有影响。这样规定的目的是将一个实际存储问题简化，便于直观分析。

6.1.3　知识建构

1）存储论基本概念

消耗与储存、需求与供应之间往往存在着不协调性，造成流动资金的占用，使物资损坏、变质、报废，供不应求，引起缺货，一些重要物资的短缺，可能使生产中断。解决这类问题的科学称为存储论（Inventory Theory）。

存储论除应用于企业产品、物资、备件库存控制，还广泛应用于矿业开发，水电站水库蓄水量调节等国民经济的其他领域。近年来，存储论和数据库技术的有机结合，通过信息流实现了有效控制，日本工业界近年提出零库存（ZI）理论，这对于某些现代化加工制造类企业，备品备件供应要求严格的定时定量（JIT），零库存是它们追求的目标。

存储论主要解决存储策略问题，即一个是补充存储物资时，每次补充数量是多少？另一个是应该隔多长时间来补充这些存储物资？

（1）需求

需求即原材料、备品备件和产品的消耗或要货。单位时间的需求称为需求量。对于存储系统来说，需求就是输出。它有不同的形式：间断式的需求、连续均匀性的需求、确定性的需求和随机的不确定性的需求。

例如：钢厂每月按照合同卖给电机厂矽钢片20吨，是确定性的需求；又如，书店每天卖出去的书可能是100本，也可能是500本等，是随机性的不确定性的需求。但是通过大量的统计以后，可以发现每天售出书的数量的统计规律，则称之为有一定的随机分布的需求。

（2）补充

补充是指系统的输入。存储由于需求而不断减少，必须加以补充，否则最终无法满足需求。补充策略是根据系统的目标和需求的方式来确定的。存储论所要解决的问题，也就是多少时间补充一次？每次补充的数量是多少？

补充的办法可能是向其他工厂购买，从订货到货物进入存储往往需要一段时间，这段时间称为备货时间。从另外一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，这段时间称为提前时间。

（3）费用

存储问题中应用较多的费用主要有订货费、生产费、存储费及缺货损失费，等等。

①存储费。存储费是指存货被售出或被使用之前与存储有关的费用。其中包括：仓库管理费、存储设备的保养与维修费用、保险金、存货损坏或变质的费用以及占用流动资金所需支付的利息，等等。

②订货费。订货费主要包括两项费用：一是订购费（固定费用）。它与订货的批次有关但与订货的数量无关。例如，手续费、通信往来及派人员外出采购的差旅费等。另一项是购货费或者货物的成本费（购买与运输）。它与订货数量有关（为可变费用），其值与订购量成正比。例如，货物的单价和运输费用等。若货物的单价是k元，订购费是C₃，订货量是Q，则订货费为：C₃+kQ。

③生产费。补充存储时，若由本单位自行生产，则自行生产所需要的总费用包括两项：一项为生产准备费（对应于订购费用）或装配费，又称结束费，是固定费用。例如更换模、夹具或添置某些专用设备等费用；另一项是与生产产品的数量有关的费用（是可变费用），如材料费、加工费用。

④缺货费。缺货费是指存储不能满足需求所引起的失去销售机会的损失或停工待料的损失，以及不能履行合同而交纳的罚款等，即当存储供不应求时所引起的损失。例如：原材料供应不上造成机器和人工待料带来的损失。在不允许缺货的情况下，费用的处理方式是缺货费为无穷大。

（4）存储策略

存储策略是指什么时间提出订货以及订货的数量。其评价标准的优劣是所消耗的平均费用。

例如：按照固定间隔期提出固定数量的订货；按固定间隔期提出最大库存量同现有库存量差值的订货量；当库存量降低到规定水平（保险储备的水平或安全存储量）时，提出固定数量或最大库存量同现有库存量差值的订货量，等等。常见策略有3种：

①t₀循环策略，每隔t₀时间补充存储量Q。

②（s，S）策略，每当存储量x＞s时，不补充；当x≤s时补充存储。补充量为Q=S-x（即将存储量补充到S）。

③（t，s，S）策略，每经过t时间检查存储量x，当存储量x＞s时，不补充；当x≤s时补充到Q=S-x。

在一个储存问题中主要考虑两个问题：一个是量的问题，即供应（需求）量的多少；第二个是期的问题，即什么时候供应（需求）。按期与量这两个参数的确定性或随机性，将存储模型分为确定性存储模型与随机性存储模型两大类。下节中将介绍这类模型中的一些典型情况。

2）不允许缺货存储模型

（1）不允许缺货、补充时间很短的存储模型（称为基本的EOQ模型）

这种模型的存储状态如图6-1所示。在这种模型中，需求率即单位时间从存储中取走物资的数量是常量，当库存量减少到0时，可立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包括生产时间很短的情况，我们可以把生产时间近似看做0）。

图6-1

设某种物品的需求率为常数R（件/年），并以一定的批量Q供应给需求方，提前期为0。存储物品所需要费用为C₁（元/件・次），每次组织订货有关的费用为C₃（元/次），货物的单价为k（元）。当收到一批货物后，将其暂时存储在仓库中，以速率R（件/年）消耗掉。则有下列结果成立：

t时间的库存量为：Q=Rt；

因此在需求和补充及各种费用已知的条件下，要求确定每次的订货批量和订货周期为多大，使全年总的费用C（t）为最少的模型为：

对模型一的几点说明：

①这种模型的特点是不允许缺货，并要求单位存储费、每次的订购费、每次的订货量都是常数，分别为一些确定不变的数值。

②当需求速率R一定时，经济批量Q^*与订购费成正比，与存储费成反比。并注意单位时间内的总费用和存储费用的计算方法。

③由于货物本身的费用kR为常数，因此在存储问题的优化模型中通常省略这一项，即存储模型中通常不考虑货物本身的成本。

④模型一是存储论中著名的经济订购批量（Economic Ordering Quantity，EOQ）模型公式。它是研究各类确定性模型讨论的基础，因此务必记住这个公式。

任务6-1和任务6-2就需要考虑不允许缺货、生产时间很短的存储模型。

（2）一般的EOQ模型

在一般的EOQ模型中，应考虑实际生产部门同需求部门之间的联系，并允许库存发生短缺的情形，它的存储状态如图6-2所示。生产部门按一定速率P进行生产，需求部门的需求速率为R（要求P＞R）。生产从O点开始，在t₁段按速率P进行。由于需求消耗，图中A点表示达到的总存储量。在t₂和t₃时间段内生产停止，而需求仍按照速率R进行，至B点存储量为0，到C点发生最大短缺。从该点开始起又恢复生产，到E点补上短缺量，并开始一个新的生产周期。现在需要确定总费用最小的最佳生产批量Q。

图6-2

图中，S₁表示最大存储量，S₂表示最大短缺量，设存储物品所需要费用为C₁（元/件・次），单位产品单位时间内的缺货费用为C₂，开始一个周期的生产准备费用为C₃（元/次）。

问题分析：

根据图6-2可知，一个生产周期长度为t=t₁+t₂+t₃+t₄。假设用y₁，y₂，y₃分别代表一个周期的生产准备费、存储费及短缺费，用C（t）表示单位时间内的平均总费用，则有

将式（6-6）和式（6-7）代入式（6-5）得到单位时间内平均总费用的EOQ模型二即为：

将式（6-11）和式（6-12）分别代入以上相应的各个式子，就得到了总费用最小时的最佳生产批量、最大存储量、最大短缺量等各个参数取值如下：

例如：当P远大于R时，即订货提前期为零，此时有

而且，如果不允许缺货，则可视缺货损失

将式（6-18）、式（6-19）分别代入式（6-14）、式（6-17），即得到了模型一中的式（6-2）和式（6-4）。可见模型一是模型二的特殊情况。

（3）不允许缺货、生产需要一定的时间的EOQ模型

经济生产批量也称不允许缺货、生产需要一定时间模型，这也是一种确定型的存储模型。它的存储状态图如图6-3所示。这类模型除了不允许有缺货外，其他条件均与模型二相同。

设为最大库存量，试确定最佳生产批量Q^*，及相应的其他参数的值，使得在周期t内的总费用C（t）最低。

问题分析：

要求不允许缺货，故只要将C₂→∞分别代入式（6-12）、式（6-13），再由式（6-6）代入式（6-5）得到生产需要一定的时间，不允许缺货的EOQ模型三，如下：

图6-3

此时最佳生产周期：

任务6-3和任务6-4就需要考虑不允许缺货、生产需要一定时间的EOQ模型。

模型三说明：

①这种模型的存储特点是需求率（单位时间的需求量）为常数R，生产率（单位时间的产量）为P（有限供货率），不允许缺货，因此P＞R。

②每期初进行补充，每次生产量为Q。

③单位时间存储费用计算方法：若每次生产量为Q，生产率为P，则每次生产时间为t=Q/P，于是最高库存量为（P-R）Q/P。到T时刻存储量为0，则在至T时间内的平均库存量为（P-R）Q/2P。因此单位时间的库存费应为C₁（P-R）Q/2P。

④当P→∞时，经济批量生产模型二趋于经济订购批量模型一。

3）订货提前为零、允许缺货的EOQ模型

（1）允许缺货、备货时间很短的EOQ模型

所谓允许缺货是指企业存储量降为0时，不急于补充，等一段时间后再去订货。顾客遇到缺货也不受损失或损失很小，并假设顾客会耐心等待，直到新的补充到来。当新的补充一到，企业立即将所缺货交付顾客，即缺货部分不进入库存。这类模型存储状态如图6-4所示。

图6-4

现设S₂为最大允许的短缺量，存储物品所需要费用为C₁（元/件・次），单位产品单位时间内的短缺费用为C₂，开始一个周期的生产准备费用为C₃（元/次）。在t₁时间间隔内，库存量为正值，在t₂时间间隔内发生短缺。每当新的一批零件到达，马上补足供应所短缺的数量S₂，然后将Q-S₂的物品暂时存储起来。因此，在这种情况下，最高库存量是S₁=Q-S₂，现要确定经济批量Q及供应间隔期t，使平均总的费用最低。

问题分析：

这个模型中总的费用包括三部分，即订货费，存储费及短缺费。根据已知条件，只需令考虑到S₁=Rt₁，t=t₁+t₂。

应用公式（6-5）′，可得订货提前为0、允许缺货的EOQ模型即模型四

容易得到：

最佳生产周期

最大库存量为

从而有，

最佳订货量

最低费用为

最大缺货量

对模型四进行说明：

①当C₂→∞时，允许缺货订购模型四趋于经济订货批量模型一。

②需求率（单位时间的需求量）为常数R，每次订购量为Q，且是无限供货率。

③由于允许缺货，对企业而言，除了支付少量的缺货费外，其他并无损失，这样企业就可以利用“允许缺货这个宽松条件，少付几次订货费，少付一些存储费了”。从经济观点出发，这样的允许缺货现象通常对企业是有利的。

任务6-5和任务6-6就需要考虑允许缺货、备货时间很短的EOQ模型。

（2）允许缺货、生产需要一定时间的EOQ模型

这类模型与经济批量生产模型一、模型三相比，放宽了假设条件“允许缺货”。而与允许缺货的经济批量模型四相比，不同的是：补充不是靠订货，而是依靠生产来逐步补充，因此，补充数量不能同时到位。开始生产时候，一部分产品满足需要，剩余产品作为存储。生产停止时，靠存储量来满足需要。因此这类模型和经济订货批量的一般EOQ模型完全相同，本节从略。

4）价格有折扣的存储模型

经济订货批量价格有折扣的存储模型是经济批量订货模型一的一种发展。前面两节所讨论的货物单价均是常量，得出的存储策略都与货物单价无关。本节中货物单价随订购或生产数量的变化而发生变化的。

所谓货物单价有“折扣”是指供应方采取的一种鼓励用户多订货的优惠策略，即根据订货量的多少来规定货物单价的差异。例如我们常常看到一种商品有所谓的零售价、批发价及出厂价，购买同一种商品的数量不同，商品的价格也可能不相同。一般情况下购买数量越多，商品单价越低。在少数情况下，如果某些商品是限额供应，则超过限额部分的商品单价要提高。

除货物的单价随订购数量而变化之外，其余条件和模型一讨论的情况完全相同，这种情况下，应该如何去制订相应的存储策略。

问题分析：考虑到生产或销售部门给予价格的折扣优惠和订货的数量有着直接关系。例如规定订货量Q＜Q₁时，每件的价格为k₁；当Q₁≤Q＜Q₂时，每件的价格为k₂；当Q₂≤Q＜Q₃时，每件的价格为k₃，等等，其中k₁＞k₂＞k₃。在这种情况下计算最佳订货批量时，就需要把订货费、存储费、短缺费和货物价格一起相加之后进行比较。下面讨论简单的情形（其他情形可以完全类似讨论，本节从略）。