均数的抽样误差

一、均数的抽样误差

（一）概念

若我们想对某地20岁正常男子的身高均数进行了解，在该地抽了140名男子，测得其平均身高为173．86cm，如果再从该地抽取140名男子，其平均身高未必仍等于173．86cm，也不一定恰好等于该地20岁正常男子身高的总体均数。这种由于总体中个体差异的存在，在抽样过程中产生的样本均数与总体均数之间的差异或样本均数之间的差异，称为均数的抽样误差（sampling error of mean）。

（二）大小

在同一总体中相同样本含量的样本，其样本均数与总体均数（－μ）的差别有大有小，有正有负，有的甚至为0。因此，我们不能用某一样本均数与总体均数的差值作为衡量抽样误差的大小，而是将所有相同样本含量的样本均数与总体均数之间的平均差（平均变异）作为抽样误差大小的指标。由下面两个数理统计的定理可知，这种平均变异正好是样本均数的标准差，为了区别于变量值的标准差，我们把样本均数的标准差称为均数的标准误（standard error）。

数理统计两个定理：

（1）从正态总体中随机抽取含量为n的样本，样本均数也服从正态分布（例6－18）；即使是从偏态分布总体中抽样，当n足够大时，样本均数也近似服从正态分布。

（2）从均数为μ，标准差为σ的正态总体中抽取例数为n的样本，样本均数的总体均数仍为原总体均数μ，其标准差为，即均数的标准差。可按式（6－16）计算：

例6－18　若我们将例6－1中的“140名20岁正常男子的身高值”看成总体，由前可知μ＝173．86cm，σ＝5．18cm。现从该总体中抽取n＝10的100个样本，可得100个样本均数，其频数分布见表6－7。

表6－7　100个样本均数的频数分布

由上表可计算样本均数的均数为173．63cm，样本均数的标准差为1．69cm。而由式（6－16）计算样本均数的标准差为

由此可见，由表6－7计算所得的结果与μ，很接近。但在实际的抽样研究中，σ常未知，而通常用一个样本的标准差作为σ的估计值。因此实际研究中常用作为的估计值，计算公式见（6－17）。

（三）性质

抽样误差产生的原因是总体中存在个体差异，产生的条件是抽样，而总体中的个体差异是无法避免的，因此，只要作抽样研究就必定存在抽样误差，即抽样误差有不可避免的性质。但由公式（6－17）可见，可以通过保证总体的同质性及增大样本例数来缩小抽样误差。

（四）用途

①可用来衡量样本均数的可靠性。抽样误差越小，样本均数与总体均数的差异程度越小。因此，用样本均数估计（推断）总体均数越可靠，反之亦然。②可用来估计总体均数的置信区间（见本节“三”的内容）。③可用于均数的假设检验（见本节“四”的内容）。