数学思维的品质及其培养

数学思维过程构成了一个包括数学知识、方法及其主客体交互作用的系统。数学思维过程可以说是主体以数学知识、理论为基础的在头脑中建立起来的信息操作系统。

一、数学思维的品质

思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志。思维的发生和发展，既服从于一般的、普遍的规律，又表现出个性差异：对于不同的个体，具有不同的思维特点。思维品质差异实质上表现为人的能力的差异。数学思维品质主要有以下几个方面：

（一）数学思维的深刻性

思维的深刻性，就是分清实质的能力，这种能力表现为：能洞察所研究的每一个事实的实质及相互关系；能从所研究的材料（已知条件、解法及结果）中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况；能组合各种具体模式。

例7.17求y=sinx+4sinx的值域。

思维误区：①不注意sinx与4sinx的正负，直接套用均值定理。

②不注意等号成立的条件。

但是因sinx与4sinx同号，可讨论其符号再用均值定值，sinx与4sinx积为定值4,但sinx与4sinx不能相等，由二正数和、积关系知sinx与4sinx差的绝对值最小，即sinx=1时，sinx+4sinx取到极值。

因此正确解答为：

①0

y=sinx+4sinx＝sinx+1sinx+3sinx≥2sinx·1sinx+3sinx

＝2+3sinx≥2+31=5

当sinx=1时，上述两个不等号中的等号同时成立，∴y≥5

②—1≤sinx0时，

y=sinx+4sinx=—（—sinx+4—sinx）≤—5

当sinx=—1时，等号成立，∴y≤—5

综合①、②知道y≥5或y≤—5

一般来说，中学生数学思维的深刻性表现为：形成概念、构成判断、在进行推理论证的深度上存在差异。

（二）数学思维的广阔性

思维的广阔性是指思路宽广，善于多角度、多层次地进行探求。在数学学习中，思维的广阔性表现为既能把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，又能抓住重要的细节和特殊因素，放开思路进行思考，善于发现事物之间多方面的联系，找出多种解决问题的方法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些普遍意义的方法，或扩大解题中得到的结果的使用范围，或将其推广到类似的问题中去。

例7.18求解过抛物线的焦点F作一条直线，交抛物线于A、B两点。设p为抛物线的焦点参数，且AF=m,BF=n,则1m+1n=2p

对于这道例题能用多种方法来证明，包括从抛物线的定义出发，利用平面集合知识来证明等，并能推广到椭圆、双曲线情形，且作出相应的证明。

（三）数学思维的灵活性

思维的灵活性是指思维活动的灵活程度。主要表现为具有超脱出习惯处理方法界限的能力。即一旦所给条件发生变化，便能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法。学生思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方向；表现为从一种解题途径转向另一种途径的灵巧性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。

例7.19解方程x2+2x=x+2

常规采用先移项再配方的方法。实际上可以两边直接因式分解：x（x+2）=x+2

（三）数学思维的敏捷性

思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速性。具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接”得出结果。

例720已知二次方程（a—b）x2+（c—a）x+（b—c）=0（a,b,c∈R）有相等的实根，求证a、b、c成等差数列。对此题，若学生的思维呆板，则会总是停留在利用一元二次方程根的判别式上，而不能根据本题条件，得出其他证法；而思维灵活的学生，则能从观察该方程的特点入手，得到方程有一个根是1,再由韦达定理得b—ca—b=1,或利用因式分解：［（a—b）x—（b—c）］（x—1）=0,立刻得到方程的根是x1=x2=1=b—ca—b,从而立即得到证明。

（五）数学思维的批判性

思维的批判性，就是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，它是思维过程中自我意识作用的结果。思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正误或优劣；喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也不自以为是。

（六）思维的独创性

思维的独创性是指思维活动的创造性精神，是在新颖地解决问题中表现出来的智力品质。“独创”主要指思维活动应具有创造性态度。学生能独立地、自觉地掌握数学概念，发现定理的证明，发现老师课堂上讲过的例题的新颖解法等，这些都是思维独创性的具体表现。

为了提高学生思维的独创性，应该在加强基础知识学习和基本技能训练的前提下，提倡让学生独立思考，从分析问题的特点出发，去探求独到的解决方法。

二、数学思维品质的培养

（一）培养数学思维的深刻性

培养数学思维的深刻性，就是培养学生分清事物实质的能力，使学生能够透过复杂的现象洞察所研究事物的本质及其相互联系，能从所研究的材料中揭示被掩盖的特殊情况，能组合各种具体模式等。

（二）培养数学思维的广阔性与灵活性

培养数学思维的广阔性与灵活性，其核心就是培养学生的发散思维。教师要注意在基础知识、基本技能、基本思想方法的教学中，从不同层次、形态解释数学知识间的联系，把知识系统化；在解题教学中，培养学生根据条件的变化，从不同角度观察、分析问题的能力，避免局限学生的思维，引导学生进行类比、对比联想。

例7.21求证a—a—1

证明此题后，可继续探索以下问题：

①设等差数列a,a+d,a+2d,a+3d,其中a,d皆为正数，求证

a+3d—a+2d

②设等比数列a,aq,aq2,aq3,其中a,q为正数，求证

aq3—aq2

通过验证，①成立，而②在q≠1时也成立。

（三）培养数学思维的敏捷性

培养数学思维的敏捷性，应重视数学概括能力的培养，为此要做到以下几点：

①注意学生对数学基础知识的理解与把握，以便学生在解决问题的过程中，正确、迅速地利用相关的数学概念、公式和法则。

②在数学教学中要考虑关于解题速度的训练问题。优秀学生在进行数学解题时，往往反应速度快，思维敏捷。

③不要忽视思维的敏捷性与记忆的密切关系。

（四）培养数学思维的批判性

数学思维批判性品质的培养与培养学生的自我监控能力有密切关系。自我监控能力就是学生为了达到预定的目标，将自身正在进行的实践活动过程作为对象，不断对其进行积极的、自觉的计划、监督、检查、评价、反馈和调节的能力。教师可以从培养学生的检查意识和技能入手，来提高学生对数学学习的自我监控能力。

例如，教师可以让学生来分析一些错误的数学解答，来提高学生数学思维的批判性。

例7.22已知：a≤1,b≤1,求证：ab+（1—a2）（1—b2）≤1

证明：设a=sinα，b=cosα，代入化简得：

ab+（1—a2）（1—b2）

=12sin2α+12cos2α

≤12cos2α+12cos2α

=cos2α≤1

错误原因分析：条件中并没有a2+b2=1,但在证明过程中却使用了这个条件。

（五）培养学生数学思维的独创性

数学教学中培养学生数学思维的独创性应注意以下几点：

①激发学生的求知欲和好奇心。

②重视培养学生思维的流畅性、变通性和独特性。

③增强有意注意，捕捉灵感。

④既培养逻辑思维，也培养直觉思维。

⑤培养学生的想象力。想象力的培养需要培养学生具有广泛的兴趣，渊博的知识经验。

在数学教学中，教师要多应用归纳、类比、联想等方法，激发学生发现和创造。如进行一题多解，运用几何、代数、图像等多种方法解题。

例7.23正数a,b,c,A,B,C满足条件a+A=b+B=c+C=k。

求证：aB+bC+cA

该题可以用直接证明、构造等边三角形等方法进行解答。