从生本角度来看学生数学思维品质的培养

从生本角度来看学生数学思维品质的培养

汕头市金山中学　张学昭

一、案例

有这样一道题:

已知函数)。

(1)若a＞0,则f(x)的定义域是______；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数,则a的取值范围是______。

这道题的第一问,全班都答对,第二问,全班百分之八十的同学都错了。这是为什么呢？

我尝试改变过去的做法,从生本的角度思考并实践培养学生严密数学思维品质的新途径,决定在课堂上剖析这一问题。

学生官斌同学用复合函数的单调性法则来解这道题。思路是:

由于是增函数,所以只需考虑与-a是同号还是异号；

当与-a异号,则y=f(x)是减函数。

他在黑板上写出“(a-1)(-a)＜0,解得a＞1或a＜0”。

显然,这种解法错了。看上去,他还在思考自己错在哪里。

“定义域,定义域!”这时有几个同学在下面兴奋地嚷道。我也轻声地提醒:“再看看题目的已知条件？”当他把目光停留在“区间(0,1]上”。几秒钟后,官斌同学恍然大悟地拍了拍自己的脑袋:“我忘了使在区间(0,1]上有意义这个条件。”他又在黑板上写下:“当0＜x≤1时,3-ax≥0”。官斌同学的解法逐步完善,意味着思维越来越严密。然而,他仍然显得很紧张。

“看来官斌同学遇到了思维障碍。谁帮助他继续梳理思路？”

“当0＜x≤1时,3-ax≥0,求a的取值范围”。学生杨洋用使不等式恒成立的通法,求当0＜x≤1时,3-ax的下界不小于0就行了。学生张诚更进一步转化,用分离参数法迅速快捷地解决了问题,获得了大多数同学的赞赏。

回顾讨论过程,我问道:“解这道题的关键是什么呢？”“要同时考虑定义域和单调性的要求”。官斌同学大声地答道。

这时,我又发现,学生陈峰犹豫不决,想要提问又退缩了。“还有什么问题吗？”我问道。

陈峰同学说:“我是用求导的方法求解的!”我请他将自己的做法板书在黑板上。

由求导得,

由①,②求得a≤0或1＜a≤3。

“可是,我的答案也不对,多了0!我发现,当a=0时,,是常函数,而不是减函数,所以应舍去a=0。但考试时我忘了检验。因而,答案应该是a＜0或1＜a≤3。”陈峰说。

学生张帆举手说道:“将‘当f′(x)≤0时,f(x)是减函数’修改为‘当f′(x)＜0时,f(x)是减函数’,就可以不检验了,那样‘0’就不会多出来。”张帆提出的问题是我始料未及的,我只好接着问:“是不是把‘f′(x)≤0’改成‘f′(x)＜0’更好,忘了检验也没关系？”这个问题很吸引人,很多人又抬起了头。

过了几十秒,我请陈峰同学说说自己的看法,他点头说:“f′(x)＜0,就是忘了检验也不会错。以后做题还是先思考‘f′(x)＜0’好!”

这时我看到官斌同学皱着眉,就请他来说说,“如果‘f′(x)＜0’和‘f′(x)≤0’是一样,那么,检不检验就应该都对,但‘f′(x)≤0’时,不检验就错了。我觉得‘f′(x)＜0’和‘f′(x)≤0’是不同的。还是用‘f′(x)≤0’好,但要注意特殊情况的检验。”

两种意见争执不下,我正在想如何收场。“大家的分歧在于用‘f′(x)＜0’还是‘f′(x)≤0’？请思考一下,当f(x)是减函数,一定有f′(x)＜0吗？”在这个关键的时候,我插入了令学生敏感的激发学生思考的问题。

学生张诚站起来说:“y=-x³是减函数,y′=-3x²≤0。所以当f(x)是减函数,不一定有f′(x)＜0。我觉得还是应该考虑‘f′(x)≤0’好。虽然在求单调区间时,对点来说单调性没关系,单调性区间与开、闭问题没多大关系,但这道题是求参数的取值范围,若写开区间,会遗漏一些数值!”

“你能举出一个例子吗？”我问道,张斌同学面有难色。

我备课时并没有准备这个问题,也在飞快地思考,打算给出一个例子。这时陈峰同学说:“我有一个例子。”他翻开一本书,念着:“已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数,求a的取值范围”,他念完说:“就是这道题,我上次考虑‘f′(x)＜0’时,就漏掉了端点值-3!”

“他举的这个例子很好。到底该怎么办呢？”我继续问。

张诚自信地站起来说:“f′(x)＜0是可导函数f(x)成为减函数的充分但不必要条件。求单调区间时,将区间认定为开、闭都可以。求参数取值范围时,最好考虑闭区间,再检验端点值是否能取。这样就不会遗漏或多算了,比较严密。”他顿了顿,又说:“先找出来再决定取舍,比漏掉再补回来容易多了。”

同学们会心大笑。这一结论当然是正确的。

二、分析

在本课例中,我运用生本教育的思想,引导学生自我总结经验,剖析解题过程中思维纰漏,掌握严密的思维方法。无论从学生学的角度,还是教师教的角度看,本课都能给我们的教学工作许多有益启示。

(一)对学生学的启示

在本课结尾,我又组织学生思考:通过这道题的解析过程,我们可以得到哪些解题经验？同学们又议论起来:

确定解题方法的过程,就是数学解题的宏观思路。有了宏观思路,是不是就可以得到正确的解题答案呢？当然不一定。

在微观上,这道题涉及函数的定义域、函数的单调性的定义、复合函数单调性的法则,复合函数求导数,利用导数求函数的单调区间、参数的特殊值讨论等问题。这些数学概念、定理、法则等等都是严密的,不得有半点疏漏。这些其实都是数学基础知识和基本技能。单从基础性来看,这些知识并不难。难在解题过程中调动和运用这些知识。

归结起来,从学生角度来说,其经验就是:平时要加强基础知识和基本技能的学习和感悟,在运用基础知识过程中,在宏观上寻找和把握解决问题的正确思路,尽量把思维提高到策略水平,注意思维的系统性和灵活性；在微观上注意思维的严密性,用足已知条件,注意考虑问题的一般性和特殊性,运用基本技能。平时的练习中,要注意从细微之处训练自己数学思维能力,培养良好的数学思维品质。

(二)对老师教的启示

这节课,其实就解了一道题。从教的效率看,值不值？如果专门由老师讲数学题的解法,我们可以讲三至四道题,每道题还可以讲解法一、解法二之类的问题。但静下来反思,学生听懂了么？理解了么？掌握了么？作为教师,我对上述问题充满疑惑。

生本教育理论告诉我们,教师是学生学习的共学者、指导者,学生才是学习的主人。教师要帮助学生总结学习的经验。有了学习的经验,学生才能对知识融会贯通。我想起了苏格拉底的产婆术。一个孕妇,腹中本就有胎儿,助产婆的职能是创造有利于产妇生产的环境和条件,给她以生产孩子的心理、方法、勇气的帮助,而不是代替产妇生产孩子。同理,学生在学习过程中,自身是有学习潜能的。教师是要帮助学生激发自己学习的潜能,培养解题能力,训练严密的数学思想。教师的授课效率,要以学生接受和理解程度为衡量标准。

回顾这节课,我们可以将其简化为一个过程:学生的困惑(以官斌为代表的学生出现解题错误)——激起学生探索欲望(几位学生看似提醒官斌,实际是自己在积极思考)——有困难的学生完善思路,又遇新困惑——学生补充想法,促进思维完善——另外学生提出新思维,但依然出现疏漏——再补充完善——解决问题——总结解题经验。从学生学习方式角度看,这是典型的研究性学习和合作学习方式,师生多边地参与了整个教学过程。我认为,虽然这节课只讲了一道题,但问题典型,学习效率是高的。

三、总结

有教育家说:“教师的最高境界,是‘不见自我’。他应该是一只最合脚的鞋子。他的核心任务,不是自己‘教’,而是组织学生‘学’、服务学生‘学’。他要为学生创造生机勃勃的、令学生‘忘我’的课堂。”以学生为主体,对老师驾驭课堂提出了更高的要求。尊重学生先前已有的思想或付出的努力,将教学建立在学生已有的知识上。教师常常根据学生们在作业中看到的来判断学生的理解,并人为地填充一些片段形成他们关于学生想什么的观念。在本节课中,通过学生的讨论,“出声地”想,使老师能更准确地把握学生的想法,学生在讲的过程对知识,思想,方法也更明晰。在课堂教学中,学生给出解法的随机性较大,这就需要教师充分发挥组织者和引导者的作用,引领学生理清思路,落实过程,优化思想,实现思维升华,这就是教师的责任。“教师应从各种不同角度或层面不断对各种方法作出比较,从而有效地促进学生对于自己的方法作出积极的反思和必要的改进,并在方法论上达到更大的自觉性和先进性。”久而久之,学生会有经验选择适当的方法简捷解题。

要切实提高学生的数学思维能力,提高数学素养,就要求教师要给学生足够的思维空间和时间。比如教师在提问时尽可能少的提供帮助寻找和发现正确答案,提问时不涉及关键的突破口,教师的所有工作是参与性的,不是指示性的。在教学中不追求速战速决,给学生足够的时间思考,适度等待。用平时的思考时间换回考试的快速决策。在教学中应引导学生展开讨论,让他们相互启发,注意到个别优秀学生对教学方向的牵制,把握时机让他们说,激发全体学生的参与。