高一数学《函数图像》课的两次反思

高一数学《函数图像》课的两次反思

龚　亮

我校在本学期加强了各备课组组内教师之间的交流活动，每学期选择二、三个课题进行交流。课题之一就是《函数图像》，正好本人又参加徐汇区高中青年教师大奖赛，要开一节公开课，我就选择了《函数图像》这节课。我校高一年级共有六个班级，我教一班与五班。

第一次备课与上课及反思

一、首先我个人进行了备课，并在五班上了第一节课，我们有四个教师进行听课，希望能找出一些可以值得研究的细节。下面是我本节课的流程：

引入问题：

例1.画出函数f（x）＝x²－2x－3的图像。

例2.要求画出y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图像；然后请学生归纳如何可以从y＝f（x）的图像变换到y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图像。

例3.要求画出y＝f（－x）与y＝－f（x）的图像；然后请学生归纳如何可以从y＝f（x）的图像变换到y＝f（－x）与y＝－f（x）的图像。

例4.要求画出y＝f（x＋2）与y＝f（x－2）的图像；然后请学生归纳如何可以从y＝f（x）的图像变换到y＝f（x＋2）与y＝f（x－2）的图像。

例5.给出函数y＝f（x）的图像，请同学们画出y＝f（－x）与y＝－f（x）与y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图像。

例6.求关于x的方程｜x²－2x－3｜－a＝0的解的个数。

例7.小结

二、上完课后我首先谈了自己的教案设计。然后我重点谈了上完课后的感受。首先，总体感觉时间偏紧，讲到例6时离下课时间只有5分钟，无法完成例6。另外为了赶时间，前面让学生考虑的时间较少。其次，我自己隐隐感觉到例2、3、4同学们还停留在模仿的阶段，还没有真正理解它的内涵。我感到我对同学们现有的水平的理解与他们的真实水平是有出入的。

师A：的确，我也觉得这节课的容量较大，给学生的思考时间太短，没有暴露出学生存在的一些问题。你感觉知识点都讲下去了，但效果不一定好。

师B：我们是否可以作如下更改：例1不动；例4不要（沿x轴左右平移可以放在第二天继续讲），这样既可以突出重点，又可以节约时间；例2与例3可以换一下位置。

师C：另外我发觉有个地方浪费的时间比较的多，就是例5。我在一个同学旁边看的时候发现他画那个图的时候花了很多的时间，倒不是他不会画，而是你那个图取点画对称点时不方便。我觉得你在给学生们图的时候，特殊点给他标好，另外把直角坐标系、单位长度也画好，最好有一段是直线这样更好。这样留出时间给同学们考虑例6。

师D：例6对同学们的要求太高，学生们第一次碰到含有字母参数的方程的解的个数问题，容易导致他们无从下手。我们教师先可以给学生一些铺垫：

给出引例：（1）求方程2x＋1＝x－1的解

（2）求一次函数y＝2x＋1与一次函数y＝x－1的交点坐标

师：请同学们观察两者之间的联系。

生：方程的解就是相应函数交点的横坐标。

然后再来研究例6，此时同学们就有了方向，要求出原方程的解的个数，只需研究函数y＝与函数y＝a在同一直角坐标系中的图像的交点的个数即可。

第二次备课与上课及反思

一、经过第一次的备课、上课以及与同组教师的交流。我就在一班开了这节公开课。下面是我本节课的流程：

1.引入问题：例1.已知函数f（x）＝x－2x－3

（1）画出函数f（x）＝x－2x－3的图像

（2）画出函数y＝－f（x）的图像

（3）画出函数y＝f（－x）的图像

师：请同学们归纳函数y＝－f（x）的图像是如何由函数y＝f（x）的图像变换所得。

请同学们归纳函数y＝f（－x）的图像是如何由函数y＝f（x）的图像变换所得。

生：要作y＝－f（x）的图像，只需将y＝f（x）的图像位于x轴上方部分翻折到x轴下方，而将y＝f（x）的图像位于x轴下方部分翻折到x轴上方，即得到y＝－f（x）的图像。

要作y＝f（－x）的图像，只需将y＝f（x）的图像在y轴的左、右部分相互翻折，即得到y＝f（－x）的图像。

如果学生没有归纳出来，老师可以进行适当的提示：已知点P（x，y），则点P（x，y）关于x轴与y轴的对称点分别为P（x，－y）与P（－x，y）。

2.例2.已知函数f（x）＝x－2x－3

（1）要求画出y＝｜f（x）｜的图像；

（2）要求画出y＝f（｜x｜）的图像；

（3）然后请学生归纳如何可以从y＝f（x）的图像变换到y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图像。

生：首先根据绝对值的意义，可得

所以，要作出y＝｜f（x）｜的图像，只需保留y＝f（x）的图像位于x轴上方部分，而把x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，即得到y＝｜f（x）｜的图像。

生：因为y＝f（｜x｜）是偶函数，当x≥0时，y＝f（｜x｜）的图像与y＝f（x）的图像相同，而y＝f（｜x｜）的图像关于y轴对称，所以要作y＝f（｜x｜）的图像，只需保留y＝f（x）的图像位于y轴右边部分，再利用对称性就可得到y＝f（｜x｜）的图像。

3.例3.给出函数y＝f（x）的图像，请同学们画出y＝f（－x）与y＝－f（x）与y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图像

4.给出引例：（1）求方程2x＋1＝x－1的解

（2）求一次函数y＝2x＋1与一次函数y＝x－1交点坐标

师：请同学们观察两者之间的联系。

生：方程的解就是相应函数交点的横坐标。

例4.求关于x的方程｜x²－2x－3｜－a＝0的解的个数。

分析：把原方程变形为｜x²－2x－3｜＝a，我们可设y＝｜x²－2x－3｜、y＝a，要求出原方程的解的个数，只需研究函数y＝｜x²－2x－3｜与y＝a在同一直角坐标系中的图像的交点的个数即可。

5.小结

二、这节课上完后，自我感觉非常的好。例1与例2这两个问题基本上都是学生们自己讨论出结果来的，期间学生们显得相当的活跃，我只在一个小的地方点拨了一下。通过例3我检验了一下前面知识点掌握的情况如何。我随机的抽出四个同学上黑板画图，四个同学全部画正确了。例4我只讲了引出，结果有四分之一的同学能够独立完成，当然书写的过程中可能还有一些应该加以改进的地方，但这已经相当的不错了。通过这节课，学生们的思维得到了锻炼。课后，老师们对这节的评价还是相当的高的。

后来的作业与几次测验都看出这节课的效果还是比较好的。甚至隔了一段时间后我们学指数函数与对数函数，像画函数y＝2^｜x｜、y＝｜2^x－1｜、y＝的图像，同学们的正确率还是比较高的。

后绪及反思

这次我校期末考试试卷中有这样一道题目（是解答题的第一题）

已知函数y＝f（x）的图像如图所示，请写出函数y＝f（x）的解析式，并画出函数y＝f（｜x｜）的图像。

看到这样一个题目，我们备课组的教师都认为没有任何问题存在，这样的分段函数的解析式应该没有任何问题的，而画函数图像的问题我们又是重点讲解的。事实上试卷改下来，情况如下：第一小问年级的正确率达到了百分之九十以上，这还是可以的。但第二小问不容乐观：一班做对13个人；二班做对5个人；三班做对4个人；四班做对6个人；五班做对7个人；六班做对5个人。

看到这样的情况我们都大吃一惊，为此我专门在全班作了一个调查，错误的类型各种各样，结果如下：

错误1：

以上错误达到了50%

原因：学生们认为原函数的定义域为（－1，2］，所以将y轴右边函数图像翻折到左边，要拿掉一半。但学生他不管此时图像不关于y轴对称了。

错误2：

以上错误达到了15%

这些学生就认为有绝对值，所以x都大于等于0，就把y轴左边翻折到右边。学生他不管此时图像已经不是函数图像了。

错误3：

正确结果：

以上错误达到了10%。原因：有些学生只记得关于y轴翻折，所以他把整个图像关于y轴翻折了。这些学生属于典型的记忆型的，而不是理解型的。

通过这样一次的调查，我陷入了沉思，开始反思我们平时的教学。

1.对学数学的反思

当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸，他们对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看成是“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”，这样常常会进入误区。因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历方面存在很大的差异，这些差异使得师生对同一个数学的感觉是不一样的。因此在教学过程中尽可能多地把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。虽然我们这次在上函数图像时已经充分考虑到了学生存在的各种问题，但没想到问题还是出现了，学生对抽象函数的定义域存在很大的困难，超过百分之五十的同学问题都出现在这里。数学是一个综合的问题，每一个概念的误差都可能导致出现错误的结果。这点我们在以后的教学中应加以注意。

2.对教数学的反思

教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？我们在上课、评卷、答疑解题时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，或者对可能出现的新问题不是很了解，从根本上解决学生存在的问题，只是一味地想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但是在一个新的环境下，他的注意力放在了另外一个概念上，又把以前的东西忘记了，说明学生并没有理解问题的本质性的东西。抽象函数的定义域问题我们在教学上是很重视的，反复测验过几次，看似问题得到了解决，时间一长又出问题了。当然这种知识点对高一的学生要求是显得高了一点，但以后我们教师在教的时候，在这些知识点上还要多花些心思，以求有更多的学生能够掌握。

3.从自我经历方面的教学反思

在教学中我们常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照，我们每一个人都做过学生，我们每一个人都学过数学，在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐、紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。当然，在二期课改的理念下，我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材，那么我们可以“重新做一次学生”，以学习者的身份从事一些探索性的活动，并有意识的对活动过程的有关行为作出反思。

4.从同事交流方面的教学反思

同事之间长期相处，彼此之间形成了可以讨论数学问题的共同语言、沟通方式和宽松氛围，便于展开有意义的讨论。由于所处的教学环境相似，所面对的教学对象知识和能力水平相近，因此容易找到共同关注的教学问题展开对彼此都有成效的交流。交流的方式很多，比如：共同设计教学活动、相互听课、听课后分析、学生碰到的一些新问题、有好的想法大家一起分享等等。交流的话题包括：我觉得这堂课成功的地方是……，我觉得这堂课糟糕的地方是……；这个地方的处理不知道怎么样？如果是你会怎么处理？我本想在这里“放一放”学生，但怕收不回来，你觉得该怎么做？我是怕遇到这种“意外”情况，但今天感觉处理的还可以，你觉得怎样？合作解决问题，共同从事教学设计，从设计的依据、出发点，到教学重心，基本教学过程，甚至富有创意的素材等问题。这次我们就发挥了备课组的集体力量，各抒己见，取得了很好的效果。

5.从参考资料方面的教学反思

学习相关的数学教育理论，我们能够对许多实践中感到疑惑的现象作出解释；能够对存在现象背后的问题有比较清楚的认识；能够更加理智地看待自己和他人教学经验；能够更大限度地作出有效的教学决策，避免自己尽量少走弯路。阅读数学教学理论，可以开阔我们的教学反思行为，不总是局限经验的小天地，我们能够看到自己教学实践行为有哪些与特定的教学情境有关、哪些更带有普遍的意义，从而对这些行为有较为客观的评价。能够使我们更加理性地从事教学反思活动，并对反思得到的结论更加有信心。更为重要的是，阅读教学理论，可以使我们理智地看待自己教学活动中“熟悉”、“习惯性”的行为，能够从更深刻层面反思题目进而使自己的专业发展走上良好发展的轨道。没有反思，专业能力不可能有实质性的提高，而教学反思的对象和机会就在每一个教师的身边。