在数学磨课中成长

第四节　在数学磨课中成长^[4]

你上过“公开课”吗？当你站上讲台那一刻，是否想呈现出最完美的课堂？如何沉稳、有序、巧妙地把握好课堂？如何把自己多年的教学成果展示在同行们面前？如何不在众多的老师面前把课上砸？那么，就必须像侠客磨砺宝剑、工匠雕琢美玉一般对你的课进行打磨。

笔者结合亲身经历来述说“磨课”对于青年数学教师专业成长的重要作用。

一、多次数学磨课的经历

（一）第一次参加优质课评比

2003年11月25日，笔者有幸地参加了浙江省第二届高中青年数学教师优秀课（上课比赛）评比，获得了一等奖。就是在准备这次评比的过程中，笔者获得了自己教学生涯中最初最宝贵的一段磨课经历。

2003年3月20日，笔者先是通过闭门造车，初生牛犊不怕虎地去闯温州市直属高中数学青年教师说课评比。接着在学校教研组的通力支持下迎战2003年11月13日温州市高中数学青年教师优质课评比的说课、上课比赛。之后凭借强大的教研力量，对课进行打磨、反复润泽，最终奔赴省城参加比赛，课题为“等差数列的前n项和”。

在这将近一年的时间里，不断地有新理念、新想法涌来，冲击着笔者。比如“等差数列的前n项和这堂课教材为什么安排高斯的故事？”“这节课的教学核心是什么？”“怎样去突破教学难点？”“能否有教学的亮点？”“课堂上怎样具有亲和力些？”等等。

德国数学家高斯在他仅10岁时，就解决过类似的问题。而本节课的教学核心是用“倒序相加法”来求等差数列的前n项和，与高斯的“首尾相加法”是不一样的。能否把高斯的故事删去吗？专家们指点：高斯的方法虽然不一样，但是不矛盾。这个故事讲后，可让学生以10岁的高斯为榜样解决一个新问题：1＋2＋3＋…＋99。此时，课堂上需营造宽松氛围，让学生各抒己见，各种方法呼之欲出。如

解法1∶1＋2＋3＋…＋99＋100－100；

解法2∶0＋1＋2＋3＋…＋99；

解法3：（1＋99）×49＋50；

解法4∶1＋2＋3＋…＋99＝（1＋2＋3＋…＋99＋99＋…＋3＋2＋1）＝×（1＋99）×99。

随即，“倒序相加法”便可和盘托出，应运而生，难点得到突破。

经过一系列的打磨，这节课的教案从最初的设计到最后的呈现，已大相径庭。仅引入部分，就已数易其稿，向精简靠近，从原先的多个例子引入，到最后的一张蕴含意义的图片引入；例题部分借用了中国南北朝《张丘建算经》中的算题：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”既发挥习题功能，又凸显古文韵味，且渗透德育，一举三得；结尾部分不仅从函数角度揭示等差数列前n项和公式的意义，而且通过“几何画板”进行参数变化，引导学生自主发现公式规律。

这期间，笔者教学的详案写了一遍又一遍，试讲从本校到他校、从本区到他区。在几多回合里，接收、体味、演练，再推倒、重修改，又演练。整个过程螺旋式上升，让笔者在各方面都得到了长足的进步。

（二）第一次自发状态下耗时最长的磨课

而真正让笔者有着陆感的磨课经历是准备2007年4月22日浙江省温州市特级教师、骨干教师大讲台活动的一节公开课的过程。相对于四年前的“被牵着鼻子走”，这次，笔者完全自己“策划”，有意识地从自主设计到借鉴他人做法，按照五个环节逐步逐步地展开磨课。

环节1：原生态备课

公开课的课题是高中数学人教版《数学2》“2.1.1平面”内容包括平面的概念、三大公理等。针对这个课题，笔者仅依据“教材、教参”进行“原生态”备课，看看对于这节课自我认识到底有多少。同时，为了“遮羞”，进行了自我试讲、自我评课、自我反思。试讲后的自评是：平铺直叙、没有新意，学生可以接受知识、但不深入。教学任务完成，但索然无味。反思结果是：功力不够、教材理解不深刻、设计缺乏亮点。

环节2：二次备课

笔者开始寻求多元参考资料。通过《普通高中数学课程标准（实验）》了解到新课程在立体几何的教学理念上已从以往的侧重演绎推理，变为追求“直观感知—操作确认—演绎推理—计算论证”的全过程。比较人教版新老教材在立体几何这部分编排顺序的差异，发现新教材第一章是空间几何体，第二章才是空间点线面的位置关系，这样的顺序更符合学生的认知规律。由此，笔者在课前让学生欣赏一组风景建筑的图片，既带动上课气氛，又隐含课程理念。收集不同版本教科书在这一章节的不同编写方式，比较异同点、思考背后的不同理解及原因。笔者用“几何画板”动画演示这样一个过程：让一个长方体（体）的高度逐渐减小到零，变成长方形（面）；再使其宽度逐渐减小到零，变成线段（线）；最后使其长度也逐渐减小到零，变成点，之后逐步还原前面的过程，使学生感知“点动成线，线动成面，面动成体”，同时意识到：线是点集，面是点集，空间几何体由点、线、面组成。

当笔者回味这个环节时，竟惊讶地发现，上述结论其实在“教参”中均有所提到，但在原生态备课中却没有渗透，通过多元资料的反复提醒，才得以悟出。

环节3：二次试讲

此次试讲邀请组内同仁聆听。目的一：检验二次设计的实效性，是否能调动学生积极性；目的二：从闭门造车走向信息接收，借鉴群体智慧。笔者所在的教研组有一个非常有效的评课传统：第一，基本不谈优点，只讲缺点；第二，不仅指出缺点，而且指点怎样改进的具体方法，甚至指导老师亲自操刀示范一遍。

“此节是立体几何第二章的起始课，必须要让学生规范地掌握表达几何元素点线面及其关系的三种数学语言：图形、文字、符号。”“公理是个描述性概念，不必证明，而要通过感受，让学生产生认同感。”“生活中，信手拈来都是点、线、面的模型，直接用笔表征直线、用书本表征平面，又亲切又本质，同时要注意引导学生区分有限与无限，生活中的事物形象与数学中的概念的差异。”……在组内同仁的“狂轰滥炸”之后，笔者再一次理清了思路。

环节4：指向“生成”的试讲

在笔者认为，一节课的着眼点始终应为“学生”，一节课的活力源泉乃为“学生的生成”。在公开课中，青年教师最没有把握的便是如何应对学生突如其来的“灵光”问题。如何解决预设和生成的矛盾？如何充分了解学生的原认知？

这一环节的试讲，笔者主要的意图是在某些环节进行充分地“开放”，学生可以任意发表自己的想法，没有想法，就设计问题引导学生讨论；遇到“怪异”想法，不回避，打破砂锅讨论到底。

为体验“公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。”笔者拿起一本书，问道：“我们用几个点就能将这本书撑起？”对于学生回答“三个点”“两个点”，笔者都做了预设。但出乎意外，一个学生回答：“一个点就能撑起一本书。”笔者故作镇定地追问：“有什么理由呢？”几个男生几乎同时拿起书，轻轻一转，便用一个指头顶了起来。当时，笔者沾沾自喜，这样的提问真的让学生联系到了生活，激发了积极性。但糟糕的是接下来不知该怎样解答。“如果你不旋转能撑稳这本书吗？”“旋转时的离心力是否对书本起到平衡作用？”“我们应该研究的是静态下的平面”支支吾吾的“即兴理答”，直叫人倒抽一口冷气。

另一个“意外”又发生了：当笔者提问：“一条直线无限地朝一个方向运动，会形成什么图形？”一个学生回答：“平面”。笔者继续追问，意欲得出“半平面”的答案。但举手的学生却回答：“曲面。”问题中的“一个方向”，如果理解为“顺时针方向或逆时针方向”，得到的不就是“曲面”吗？

看来，青出于蓝而胜于蓝，学生的创新性不可小觑，要想上好课，须充分了解学情。

环节5：再次备课

其一，写详细教案。第一，可以明确上课内容，为青年教师的怯场做准备；第二，经过推敲、修改、取舍、精选的过程，哪些问题是无效的，哪些理答是无力的，哪些预设会有哪些可能的生成，针对不同的生成又该准备怎样的回答；第三，语言其实是由思维决定的，它是思维的结果、思维的表象。没有思维的提炼，就没有语言的精炼。写详细教案刚好把你之前纷繁的信息、多头的思路理顺，形成逻辑框架。笔者体会：写好一个满意的详案，一堂精彩的课就已成功了一大半。

其二，解决一个困扰。三个公理怎样来连接才显得不拖沓，有吸引力。有老师建议，围绕点、线、面的位置关系，揭示三个公理的功能。这样理性的分析固然思路很清晰，但却让笔者担心自己很难上出这种思辨的味道。于是笔者想到借助Flash动画设计了三个故事片段。

片段1：小A、小B去寄信。小A手上的信皱巴巴的，小B手上的信却很平整。小B指着小A的信说：“你这封信呀，皱巴巴的，多不美观，瞧我这封，多么平整！”小A是个数学高手，故意刁难小B：“你怎么说明我这封信不平呢？”（设计意图：应用公理1）

片段2：小B在半路上玩耍，用一根指头撑起一封信，“哈哈，你瞧，一根指头就能顶住了！”小A高傲地问：“那你说，一点就能够确定一个平面吗？”（设计意图：引出公理2）

片段3：来到一个矩形邮箱前，小A开始投信，小B指着投信口，好奇地说：“喔，信封和邮箱面交于一点！”小A又乘机考考小B：“信封和邮箱面所在的平面只交于这一点吗？”（设计意图：引出公理3）

三个片段虽做得很生动，但笔者却顾虑会不会太花哨了，不是经常有人批判公开课为作秀课、过度情境化、缺乏数学味吗？而如果一节课连自己都“打动”不了，肯定会上不好。经过反复思量，决定还是选择适合自己的第二种设计，但在情境使用上，点到即止，及时将学生的注意力引向对数学问题本身的讨论。

带着这样的决定，最终笔者较为出色地完成了这次开课任务，并获得了较高的评价。而这次非常彻底的磨课经历让笔者清醒地意识到平日的积累、沉淀是多么重要，在每天的课堂、课外都应做一个教研有心人才能及时捕捉信息深刻理解数学内容。而“磨课”对于青年教师来说，则是一个引发顿悟、擦亮眼睛的契机，是其专业成长过程中不可或缺的一课。

二、在磨课中，要磨什么，磨掉什么

相对于公开课，还有一种课叫“常态课”。在许多对公开课的微词中，有这种说法：公开课与常态课差距甚远，没有意义。冷静思索，这不正是组织公开课的目的吗？我们不正是可以通过公开课来看看什么样的课是精品课？假如能缩小这之间的差距，逐步让常态课逼近公开课，这不便有了教学的进步吗？

然而，所谓“好课”是磨出来的，要想上好常态课，那也得“磨”！但有哪些磨课中的技巧和经验对提升常态课质量有帮助？且能加快磨课速度呢？对此，笔者有以下体会。

第一，要磨“目标定位和内容取舍”。

对于一节课，教学目标的定位要准确，教学内容的选取上要精到，这是磨课的核心。

如对于不同类型的课例，目标定位要有所调整。拿“数列的递推公式”新课与复习课来说，在新课中就可以加入许多斐波那契数列的拓展性知识供欣赏，让学生在感知数学中提高学习兴趣，增进对新知识的理解。而复习中再讲这些就显得肤浅或削弱主题，而应借题发挥设计较为复杂的递推式问题。

第二，要磨“课的数学本质”。

一节课要想做到“目标定位准确，内容取舍得当”，其前提必然是在建构课堂前就必须“钻研教材、吃透教材、把握本质”，这是磨课的关键。

如解析几何高三二轮复习课“从一道会考题讲起”，专家陶维林老师就一语中的的指出它的定位应该是“用‘坐标法’研究一些抛物线性质”。第一，整节课都是围绕抛物线的一组性质的探究展开的；第二，高三解析几何复习的重点还是在于学生对通性通法的掌握，应该回归到学生会用“坐标法”来解题。这样，授课者的思路就相当清晰了，处理教材时就会把探究性质作为一个触发点，把练习坐标法作为一个落脚点，何处该探究，何时该练习，就一目了然了。

第三，要磨“课的上法”。

一堂课有了魂，可要怎样塑造型呢？即用哪些手段、方式来展示你的课，怎样展示才恰到好处且颇富新意呢？

参看不同版本的教科书。比较差异，分析它们编排材料的顺序、呈现概念选用的载体，表达问题所用的语言，推敲哪种呈现方式更符合学生认知规律。

设计“问题串”。问题串的设计可以让某个问题的讨论步步逼近，理解层层加深，使一节课的主题更突出，内容更集中，设计更整体化。如概念课“平面”中，针对平面概念通过问题串作全方位的理解。先借助“手指、笔”，进行“操作交流”：①一个点朝两头无限运动，形成什么图形？②一条直线朝一个方向运动，形成什么图形呢？③将钢丝（作为直线）在空中平动了一圈，这样形成什么了呢？再进一步进行“感受交流”：①试举出身体具有“平面”形象的事物。②你对平面的感受是什么？③在自然界中存在真正的平面吗？④无限延展的平面如何表示？

恰当使用媒体。媒体种类有很多：有通常意义的课件，如PPT、几何画板、Flash；也可以是一些道具（立体模型、实物模型球等）；也有信手拈来的教科书……但我们可能有种潜意识，认为用“书”显得没有创意。其实用得恰当，发挥其应有的作用，一样出彩。如统计课“用样本估计总体”，知识理解难度不高，内容呈现文字繁多，何不定位为“有指导的自学课”，以学生阅读“书本”为主，以老师点拨问题为辅，力争达到整体知识的通达，难点问题的突破，重要问题的巩固的教学效果。同时使用媒体时要把握正确的时机，大忌喧宾夺主、适得其反。

通过磨课，磨出了对教材的深入理解、磨出了富有创意的教学设计。同时，我们还可以磨掉教师一些长期固着的错误的教学行为。

磨掉行为1：“乱说”

行为表现：在课堂上经常有无效提问，即提的问题没有指向性，学生不知从何说起。经常有随意回答，即答的问题没抓住要害，语言支吾、拖沓，不精炼。

行为原因：对问题还没理解透彻、语言未组织好。

磨课方式：无生试讲、听课指导老师随时提问、当场点拨、当场修改、再写详细教案。

目标：促进青年教师对课的本质理解，提升语言精炼度，避免口头禅，调整语音语调。

磨掉行为2：“抢话”

行为表现：抢在学生思考前发话，抢在学生话音未落前发话。

行为原因：生怕完成不了进度；生怕学生答错将课引向不歧途；生怕学生有新奇想法，教师无法理解而导致课堂失控。

磨课方式：上一节“有缺憾的课”。全心关注学生的学，核心问题鼓励学生答，顺着学生的思路来展开教学，不怕赶不上进度，不怕出错，不怕丢脸，带领学生一起体验出现错误过程，并对错误进行纠正。

目标：留足学生思考时间，学会关注“学生的学”，提升教师专业素养。

磨掉行为3：“不动”

行为表现：一堂课上完，老师的移动范围往往不超过讲台前的两三米。在许多课堂中，后排的、边上的学生最易睡着。

行为原因：教师以为“教学”就是教，没看到右边还有一个“学”字。

磨课方式：在每一堂课中都要有意识地提醒自己在整个教室中至少要走动一圈，逐步形成良好走动的习惯。

目标：关注每一位学生，尤其是后排和边上易走神的学生。

磨课是教师专业成长由理论走向实践、走向进步的绿色通道，它也是青年教师走向成熟的必由之路，更是年轻教师在教学上不断精益求精、完善自我的镜子。

“好课”是从课堂实践中熔炼出来的，没有任何捷径可行。这是教育行为修炼的颠扑不破的法则。

（注：衷心感谢笔者的研究生导师浙江师范大学张维忠教授对本文写作方面的指导）

【注释】

[1]　本文发表于《中学数学教学参考》2008年第12期（上旬），标题有修改。作者：刘次律，张维忠。

[2]　本文曾荣获浙江师范大学第四届教育硕士说课比赛一等奖，作者：刘芳，导师：张维忠。

[3]　本文发表于《中学数学教学参考》2011年第4期（上旬），作者：陈斌杰，张维忠。

[4]　文发表于《中学数学教学参考》2013年第1－2期（上旬），作者：李芳。