游戏机中的数学

第八节　游戏机中的数学^[8]——浙江省绍兴市名师大比武上的一则教学设计

美国著名科普作家马丁・加德纳（M．Gardner，1914—）曾指出：“唤醒学生的最好的办法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》亦指出：“教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。”为此，笔者结合人教版全日制普通高级中学《数学》第三册（选修2）中的研究性学习材料及日常生活中的游戏机，设计了一节研究性学习课例：游戏机中的数学，下面简要给出这节课的设计过程。

一、教学设计

（一）创设情境，引入课题

师：在电视台及日常生活中我们经常可以看到如图2-8-1所示的弹球游戏，今天让我们一起用数学家的眼光去揭开它哪神秘的面纱。（课堂上一阵躁动，学生们深深地被这个话题吸引住了，课堂气氛顿时活跃起来，同学们露出好奇的眼光等待着老师的介绍。）

师：弹球游戏是这样的：一小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物，再等可能地向其两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得相应的奖品。

（二）提出问题，积极探索

探索一

师：为什么游戏店老板在A区设置奖品的价值远高于D区？

（安静片刻，同学们七嘴八舌地议论开了）

生1：按照游戏机上的说明书。

生2：根据游戏店老板的经验。

（同学们大笑）

师：刚才两位同学都说得对！其他同学有没有不同意见？

图2-8-1

生3：A区奖品价值高于D区奖品说明小球落入A区的可能性要比小球落入D区的可能性小。

师：这位同学的回答基本上对了！但不够准确，下面让我们一起来探索其规律。

图2-8-2

小球要落入D区，只有如图2-8-2所示两种可能，由概率知识得：

就是说，小球落入D区概率等于D区肩上两区域概率之和的。

图2-8-3

据此不难求出小球落入A区和D区的概率：P（A）＝，P（D）＝P（A）远小于P（D），正好与奖区设置相吻合。

到此同学们沉浸在成功的喜悦之中，兴奋之情溢于言表，接着老师拿出如图2-8-1的实际模具请5位同学上台演示，验证以上结论的合理。（此时同学们踊跃上台，气氛推向高潮）

思考一：一次游戏价格为3元的前提下，游戏商要尽可能多的获利，则以上奖品应如何放置？

思考二：一次游戏价格为3元的前提下，如何设置以上奖品使得更吸引玩家？（小组讨论，代表发言）

探索二

师：游戏商提供的奖品如表格所示，为保证赢利，一次游戏的价格a（a∈N），最低定为多少？请你帮他设计一下。（假设事件发生的频率等于概率）

话音刚落，同学们相互间又开始讨论起来了，2～3分钟后：

生4：游戏的价格即为获得奖品价值的数学期望。

师：对，这位同学回答的相当好。（及时地加以表扬）

在黑板上，老师边听边写：

游戏的价格a≥40×＋2×＋8×＋40×＝2．625。

即：一次游戏的价格a（a∈N）最低定价为3元。

探索三

师：为了吸引顾客，游戏商总是要不断地变换花样，为此，他推出如图2-8-4所示的新游戏，要得到D区域的奖品，问：从入球口1还是入球口3投球获奖的可能性大？

图2-8-4

（课堂上你一句，我一言，同学们又开始热烈地讨论起来了，相互间充满着浓浓的合作氛围。）

生5：从入球口1投球比从入球口3投球获D区域的奖品可能性大。

师：为什么？

生5：猜猜的。（一阵大笑）

师：其他同学有没有不同的意见？（这时一位同学自告奋勇地站了起来）

生6：新游戏可以看作原游戏拼接出来，从入球口3投球得到D区域的概率实质上就是原游戏中B区域的概率P（B）＝，由上知入球口3投球比从入球口1投球获D区域奖品的概率小。

师：对不对？（对的！全班同学几乎齐声说）

师：这位同学回答得太好了！他抓住了新游戏实质，因此我们在平时要养成善于观察、善于分析，透过现象看本质，这样才不至于被新的、表面的东西迷惑。

师：Flash演示。（此时，学生的思维空间打开了，求知欲望调动起来了，课堂又一次被推向高潮）思考：若你喜欢的奖品在F区，你应从哪一入口落球使得中奖机会更大？若在I区呢？（小组讨论，代表发言）

探索四

师：各区域概率中的分子（图2-8-3）有何特点？概率有何特点？

生7：分子与杨辉三角形完全一致，分别除以2ⁿ就是概率。

师：对！概率中的分子与二项式系数相同，即第n行第k个数为，概率为

这个结论是根据观察得到的，还需要证明，留到以后来证，有兴趣的同学可预习数学归纳法一节。

师：在二项式这节中，二项式系数有一个很重要的性质，即：＋＋…＋＝2ⁿ。

这个结论可否用今天的知识加以证明，请大家思考一下。（话音刚落，一位同学迫不及待地站了起来）

生8：小球最终落入底层是必然事件，且小球落入底层各个区域是互斥事件。

由上知：小落球入底层的概率为P＝＝1，所以＋ ＋…＋＝2ⁿ。

师：真棒！从这里我们可以看到在现代的游戏中体现着古老的数学知识。我们应为灿烂的古代文明而感到自豪，同时我们也应为现代文明作出贡献。（师生一起鼓掌）

二、点评：引导学生品味数学

（一）数学课堂教学方式的转变

目前，我国中学数学的教学方式单一陈旧，从根本上讲改观不大。大多是“静听”、“独练”，很少有教师采取生动有趣的活动和方法教授数学，中学数学课堂教学目前仍对数学发现过程的展示和数学直观性背景的揭示注意较少，大量的时间花在习题讲解上。在学生眼里，数学成了枯燥无味的公式、结论和习题的堆积，充满美感和生机勃勃的数学丧失了其本来的面目。章水云老师设计的教学课例：“游戏机中的数学”，以学生喜闻乐见的弹球游戏情境为载体导入学生的数学学习，大大激发了学生学习数学的兴趣。该课例通过弹球游戏实验活动创设数学问题情境，通过弹球游戏结论的获得充分体现了学生的自主探索，通过弹球游戏的探索过程引导学生品味数学的无穷魅力，大胆地进行了数学课堂教学方式的改革，而没有担心引入数学游戏会破坏教师自己头脑里固有的“正常”的课堂秩序。

2003年4月教育部颁发了《普通高中数学课程标准（实验）》，浙江省也从2006年9月进入高中数学新课程改革实验。新课程的一大亮点就是学生学习方式的转变，把丰富学生的学习方式作为追求的基本理念，倡导自主探索、独立思考、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的重要方式，设立“数学文化”、“数学探究”、“数学建模”等学习活动，并且把它们作为贯穿于整个高中课程的主要内容，从数学课程内部为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造了有利的条件。这个理念挑战了长期以来学生在数学学习活动中形成的“接受、记忆、模仿和练习”的被动学习方式。端坐静听、模仿记忆的方式已经不适应新世纪培养创造性人才的要求。丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会学习，为学生终身学习和终身发展打下良好的基础，是高中数学新课程追求的基本理念。

在上述数学新课程理念下，为促进学生数学学习方式的转变，首要的就是教师教学的方式要发生根本性的变化。本课例的设计无论在布置探索内容（为什么游戏店老板在A区设置奖品的价值远高于D区？）还是学生参与讨论和合作交流方面都作了积极的探索。把教师和学生放在等同的地位上进行交流，采取“师—生”、“生—师”、“生—生”对话的方式，如教师设问：游戏商提供的奖品如表格所示，为保证赢利，一次游戏的价格a（a∈N），最低定为多少？请你帮他设计一下（假设事件发生的频率等于概率）。从而活化了数学问题的“场”，在课堂上充分展示学生个性，努力营造和谐、平等、互动的数学课堂教学氛围。同时以学生探索为基础，以学生活动为中心，努力转变学生的学习方式。教师设计的数学问题始终围绕主线：激发学生去探索问题—在探索中去解决问题—在解决中引发更深的问题。教师不是为学生提供问题解决的现成知识，而是根据学生的需要提供“援助”，搭建“脚手架”。学生自主学习在本课例中主要表现在两个字“活”与“动”：“活”表现在学生学习的积极性、主动性、参与性方面；“动”表现在学生积极动手、动眼、动脑方面。教学设计充分体现了数学新课程倡导的“从问题出发建立模型、寻找结论、应用与推广”的基本过程。

（一）数学游戏进入数学课堂

2002年8月在北京举行国际数学家大会（ICM 2002）期间，数学大师陈省身先生曾为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。但现实是一部分学生学习数学并不是来自兴趣，而是迫于升学考试的压力，没有自觉地投入足够的时间和精力去学习、钻研数学。而数学游戏以其雅趣的形式“娱人”，以其丰富的内容“引人”，以其无穷的奥秘“迷人”，以其潜在的功能“育人”，是教师引导学生品味数学的良好载体。美国著名科普作家马丁・加德纳（M．Gardner，1914—）曾在美国的著名科普杂志《科学美国人》（Scientif ic Americian）上主持过“数学游戏”专栏（Mathematical Game，简称M．G，正好与他姓名的缩写完全吻合。难怪有人要说马丁・加德纳就是数学游戏的人格化，数学游戏的化身了），影响广泛而又持久。正如章水云老师在课例中转引的，马丁・加德纳曾经对数学游戏的教育价值作了如下相当正确的评价：“唤醒学生的最好办法是向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗或那些呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。”事实上，努力通过数学的应用，数学的历史以及人们最感兴趣的数学家的传记，通过其与哲学或与人类思想其他方面的关系来普及数学，可以很好地使数学为更多的人所了解，但可能没有什么方法能比精选的游戏能更好地传递数学的精神了。因此，数学游戏是一种大众化的智力活动，通过数学游戏设计学生的研究性学习，让学生亲近数学、了解数学、喜欢数学，主动地学习数学，从而达到数学好玩的境界。对此，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》也对数学游戏的教育价值作了充分肯定。

传统意义上的数学游戏，在数学课堂中只是作为一种调节数学学习过程的手段，或只是用于配合某项专题活动，而很少有人把它作为学生数学学习过程中一种有意义的组成部分和有价值的扩充，并挖掘它的教学价值。本课例则有所不同，课例通过弹球游戏引入概率知识，让学生在实际问题情境中体会概率的意义，给学生带来了积极愉快的情感体验。以这样的表现形式，给学生创造了既宽松又竞争的环境，学生为赢得游戏的胜利，会自发地解决问题。事实上，数学学习是一种包含生理的、情绪的和智慧的系统全部发展的自发过程，而不应是传统意义上的一个被激起的有限过程。数学游戏正为这种自发过程的实现创造了良好的环境。因此，章水云老师设计的课例对数学游戏作用于数学教学活动进行了积极探索，大胆创新，设计出了一系列有效激发学生数学学习兴趣的数学问题或问题情境，赋予弹球游戏以合理的数学意义，挖掘其中包含的数学价值，从而利用弹球游戏达到了本节课的教学目标。也就是说该课例把数学知识的掌握、技能技巧的形成融合到弹球游戏之中，既发展了学生的数学能力，又让学生品味、欣赏了数学的魅力。

（三）引入数学实验

这个教学设计还有一个突出的特点，那就是引入了数学实验。传统的数学教学常以严密的逻辑推理来论证，因而排斥实验，数学课堂中基本上看不到实验的影子。然而，许多数学发现实际上都源于实验，同时实验也可以用来检验猜想。因此，在数学教学中适当引入实验，对学生品味数学、体验思维过程及数学思想都十分有利。事实上，重视实验操作，鼓励探索数学规律的实验与操作是学生数学学习的重要途径，国外数学教材都精心设计了多种数学实验，引导学生投身到数学学习的过程中。本课例通过Flash演示：“猜想游戏结论—实验—再猜想—再实验—得出正确的结论—用概率知识证明”，从而，使学生完成了一个完整的知识建构过程。

（四）进一步的思考

如何引导学生品味数学，达到“数学好玩”的境界还有相当长的路要走。然而，数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有大量极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深省，使人惊讶，关键是我们如何去挖掘。例如，人民教育出版社依据《普通高中数学课程标准（实验）》编写的选修课教材：《对称与群》，不但通过自然界、日常生活、建筑、绘画、工艺美术以及生物、化学等相关学科中大量的对称事物，而且还通过学生熟悉的平面图形、多项式等数学知识的内部发展，来展现对称与群的背景和应用，使学生感受到抽象程度很高的“群”的概念，实际上与他们熟悉的事物和概念有着直接的关系，离他们并不遥远。再如本课例最后引出的杨辉三角，如进一步挖掘则发现：杨辉三角与分形中的谢尔宾斯基衬垫、杨辉三角与牛顿二项展开式、杨辉三角与斐氏级数等都有密切的关系，而斐氏级数又与中国古代由洛书演化的“九宫图”有着内在的联系，近年的许多数学高考试题与数学竞赛试题中也常常有杨辉三角的背景（详见《文化视野中的数学与数学教育》，人民教育出版社，2005）。笔者认为“杨辉三角”这一题材是中学数学教学开展研究性学习以及渗透数学历史与文化的良好载体，其充分体现了数学的广泛联系。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》对教材的编写建议指出：“重视知识之间的联系与综合”与“介绍有关的数学背景知识”；而《普通高中数学课程标准（实验）》在二项式定理的教学建议中也强调要“介绍我国古代数学成就‘杨辉三角’”。如何进一步挖掘这方面的题材，引入数学课堂教学设计中，本节课的教学设计仅仅是一个良好的开端。最后值得指出的是，本节课章水云老师提出了问题，而且提出了好问题，给学生示范了提问的方法，体现了问题性，引导学生更加主动、有兴趣地学，富有探索性地学，使学生学习方式的改进得到落实。但是，由于“提出问题比解决问题更重要”，章老师若能引导学生自己去发现问题、提出问题，使学生通过自己的探索思维来获得数学结论，直至解决问题，领悟数学思想，理解数学本质，效果可能会更好一些。笔者期待着更多一线数学教师鲜活教学设计的呈现。