学生作业中的常见错误有哪些

7.2　学生作业中的常见错误有哪些？

正因为对错误的界定丰富多样，所以对于错误的分类与分析也莫衷一是。在各种错误中，学生作业中的错误因其留下了书面痕迹，便于作进一步的研究。

对学生作业中的错误，国内外学者已作了许多有益的工作，至今仍方兴未艾。特别是随着建构主义数学观的兴起，对学生的数学错误又有了新的认识。因此，如何诊断学生的错误自然引起人们极大的兴趣。Newman认为，学生在解一步文字题时，要想得到正确的解答，必须扫清一系列障碍，其中的任何失误均会影响解题的进程，导致最后解题的失败。在此意义下，Newman从解题过程角度提出错误的层级，将其分为5个水平：阅读、理解、转换、处理、编码。其中，理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意义；处理错误指的是与算法有关的错误；编码错误指的是书写错误，如笔误等。Casey发展了Newman的理论，分为问题形式、问题阅读、问题理解、策略选择、技能选择、技能操作等6个层级，可以用来分析多步（Many-step）数学文字题中发生的错误。^[3]Newman等人的研究主要是针对代数内容的，国内学者黄兴丰和程龙海以此为框架对初中生在几何解题中所出现的错误进行了调查研究。^[4]另外，还有一种较为流行的错误分类方法是戴再平先生给出的，他把解题错误分为知识性错误、逻辑性错误、策略性错误和心理性错误。^[5]

这些错误的分类方法从不同角度揭示了错误形成的原因和结果。下面是笔者根据长方形面积计算这一学习内容所作的错误分类，尽管在分类的逻辑上存在着一些重叠，但从实践的角度涵盖了学生的基本错误情况。

笔者分析了40位学生共120份课堂作业本、练习卷，对其中的常见错误作了如下分类。

表7.1　对学生错误的统计

（续表）

以上的错误分类虽然是从解题结果中得出的，但有果必有因，在剖析这些错误时，必定要追溯解题过程。综合Casey和Newman的分析，笔者提出思维过程与错误类型的对应关系（如下图）。

思维过程与错误类型的对应关系

（1）概念性错误

概念性错误是指学生运用知识时由于对相关知识的理解不正确或运用不当而产生的错误。

如例1中，求长方形面积：7×9＝63米。学生公式选用正确，但单位写错。开始笔者以为这是学生笔误或者是对面积和面积单位的概念理解不深造成的。但进一步访谈，当问到为什么会写错时，学生说，在题目中7的单位是“米”，9的单位也是“米”，所以（结果的）单位名称就写成了“米”。从学生的言说来看，其实学生的错误是：①对长方形的面积公式理解不到位造成了错误，即对7和9分别对应了单位面积个数这一关键点理解不到位；②未理解7米、9米的单位“米”是作为选定单位面积“平方米”的依据，并不是作为结果的单位的依据。从这一例子来看，虽然学生公式用对了，但因没有理解到位，所以没有最终写对。总体来看，这位学生对于长方形面积计算的认识还是停留在公式记忆阶段，公式选对且计算正确可以使结果的数据正确，但数据的单位并不能从公式中直接导出，因此出现了错误。在数学学习过程中，公式是十分常见的，它反映了数与形的关系，是各种定理、性质的直接反映，但就此认为公式是数学学习的核心，则是一种曲解，是一种不正确的数学观和数学学习观。学习数学最重要的是掌握数学的思想方法，而公式只是工具，它只掌握在对它理解的人的手中。用心理学的术语来说，只有在人的认知结构中产生同化和顺应才有可能“理解”。

例2：一个长方形的菜地长12米，宽20米，在它周围围上篱笆，篱笆至少要多长？错解：12×20＝240平方米。从结果看，是学生对周长和面积公式产生了混淆。那么从思维过程来看，在哪一步出现了问题呢？在访谈中，笔者请学生说说是怎么想的，典型的两种表现是：A学生，先把题读了一遍，然后直接说，长方形的面积等于长乘宽，12×20＝240平方米。B学生，看了下题目，“嗯，求篱笆的长，……（思考片刻），12×20＝240……”，（教师继续追问，为什么用长乘宽），“因为长方形的面积是长乘宽。”在访谈中，笔者发现虽然有学生注意到了问题是求篱笆的长，但还是未能把此问题目标转换成相应的数学模型，即学生不能将求篱笆的长转换成求长方形的周长。同样，在配玻璃木框和求玻璃面积的问题中，学生也同样不能把情景问题转化成相应的数学模型。混淆求周长和求面积之所以成为学生的典型错误，不仅是学生存在着数学模型的转化困难，还与几何问题中必然存在着数和形两种不同表征之间需要转换的困难有关，下文将专门讨论。

（2）方法性错误

方法性错误是指学生在选择解题方法策略时因导向错误而不能解决问题，或者因没有整体观念无法形成明确方法造成的错误。

前者在选择解题策略时，学生容易受到数学原型的干扰。如例3：用48米长的栅栏围成一个长方形花坛（长、宽都是整厘米数）其中一面利用围墙，怎样围才能使长方形花坛的面积最大？最大的面积是多少平方米？错解1：48÷4＝12m，12×12＝144m²。在前几节课中，学生探索学习了“在周长一定的长方形中，长和宽相等（正方形）时面积最大”这一规律。但在解决上例问题中，学生忽略了原型中的条件，简单套用了结论，因此出现了错误。在本题中，篱笆只是长方形的三条边，并没有直接围成长方形，也不是长方形的周长，所以把12m理解为正方形的边长是错误的。在学生的作业还发现一类错解：48÷3＝16m，16×16＝256m²，把篱笆和墙共同围成一个正方形，以为这样的围法面积最大也是错误的，同样属于原型用错。正确的解法是可以用求极值的方法：令篱笆长＝L，则下图中长方形的面积是，求导后令其等于零，得。根据a和b的关系，容易得到。当然对于小学生来说，这样的方法不能理解，可以让学生用列表枚举法来解决问题：

表7.2　长、宽变化与面积变化表

在教学中可以改变篱笆的长度，让学生探索在三面围墙的情况下，当篱笆为定长时，怎样的长方形围成的面积最大，从而通过归纳法（不完全归纳）建立起新的问题解决模型。当然，本题也可以利用原有模型，进行变式，如下图那样，把墙面当作是一个镜面，在墙后作一个对称的长方形，当两个长方形拼成一个正方形时，面积最大。从图中可以看出，原长方形的长等于2倍的宽。即，

方法性错误往往是因为忽视公式、定理存在的条件，或者说只是机械地记忆了公式、定理，对公式、定理的本质缺乏深刻理解，而不考虑是否具备应有条件就生硬地加以套用所产生的。

例4反映了学生因缺乏整体、明确的方法而造成错误：一个长方形的长和宽都增长5厘米后，形成了一个新的长方形，它比原来的面积增加125平方厘米。原来长方形的周长是多少厘米？错解：125－5×5＝100平方厘米，100×4＝400厘米。笔者看到学生的分步解答时，感到奇怪，觉得既然第一步已经解答出来了，那么第二步应该没有问题了呀：只要将100除以5就能得到长与宽的和，然后再乘2就可以得到原来长方形的周长。第二步怎么会写成了100乘4呢？带着疑问，笔者对学生进行了访谈。

师：老师看到你在作业上第一步写的是“125－5×5＝100平方厘米”，你是怎样想的？

生：我想长和宽都增加了5，那么5×5＝25，然后把125减去25。

师：减出来的结果是什么意思呢？

生：不知道。

师：能不能先画个图，再想一想？

生画图：

经教师提醒“形成了一个新的长方形”后，重新画图：

（事实上，不只是这位学生这样画图，有不少学生看到“增加”两字都是在图形的右下方画出所增加的长度）

生：减出来的是另外两个长方形的……（想了片刻），但是没用的。

师：那你的第二步“100×4”，是怎么想的呢？

生：当时我觉得减出来的100好像不对，所以我就把100乘4，周长是乘4的。

原来如此，该生解法的第一步是“撞”对的。从对学生的访谈可以看出，该生在解题前没有形成系统、明确的策略方法，在解题过程中也未能调整策略，因此出现错误。

（3）直觉性错误

例6也是学生常见的错误：一条便道长15米，宽24分米，用边长3分米的方砖铺满这条便道，需要这样的方砖多少块？错解：15米＝150分米，150×24÷3＝1200块。笔者也多次教过长方形面积计算，这类错误每次教学中都会出现。趁这次研究之机，笔者也想探个究竟。

那么，是不是学生不理解包含关系呢？笔者在学生的练习卷中找到了一道题可作对比：“一条便道长15米，宽24分米，用长是3分米，宽是2分米的长方形砖铺满这条便道，需要这样的砖多少块？”统计解题结果，发现所有学生解答都正确。看来，也不是对包含关系存在理解上的困难。于是我们对做错的学生进行了访谈，其中甲的回答代表了大多数学生的想法：“我先将15米化成150分米，先算出长方形面积1500乘24等于……36000平方分米，然后再除以正方形面积3等于1200块。”从学生的言谈来看似乎是对正方形面积公式不熟，但是，好像也不是这么回事，就在与本题同一次的作业中，另有2题求正方形面积的问题，学生的正确率是100%。因此，问题也不是不会计算正方形面积。那么，是笔误吗？如果是笔误，那么重复出现相同错误的概率不会高或者学生通过自我检查（反思）应该能比较容易地“看”出错误来。于是，笔者将原先错误的学生分成两组各10人，甲组同学订正老师批改过的作业，乙组独立完成与原题相同叙述但数据更换的问题（一条便道长20米，宽15分米，用边长5分米的方砖铺满这条便道，需要这样的方砖多少块？）两组完成任务的时间都设定为150秒（根据学生在解同类问题所需的时间而定）。统计结果显示，完成订正任务的甲组有3人发现了错误，订正正确；完成重做任务的乙组10人还是全错，从解题的结果来看，第一步将20米化成200分米这一步倒是有3人原来错本次写对了，2人原先对本次写对了，还有5人两次都写对；但到了解题步骤的第二步，原先错的这10位同学本次还是有9人写错。看来也不主要是笔误的原因，到底是什么原因呢？

进一步从思维过程排查：问题阅读正确、问题理解没错、问题转换顺利、策略选择合理，在技能操作细节上有疑点。

再次审视正方形求积问题，发现正方形和长方形在求积上最大的不同是，长方形求积一般会告知两个条件：长和宽，而正方形往往只需告知一个条件：边长。也就是说，学生在求长方形面积时根据已知的两个条件直接列式就行了，而正方形在列式时需要学生写好一个边长数据再“补”一个边长数据。当单纯求积时，学生写下一个边长数据时还不能组成算式，所以必定要再“补”一个数据，这时元认知的反思因素必定启动，将“边长×边长”与正方形面积计算对应起来，列式成功！而在上述造成错误的问题中，因为是复合问题数据较多，当学生写到除以正方形面积时，习惯性把3个数据用足就当作完成了解题任务。会不会是这个原因呢？为此，笔者再次进行了实验，仍然是上次实验中的20位学生，分为两组，问题的叙述与前例相同，但分别画出了长方形和正方形，其中给甲组中的正方形中边长数据有2个（相当于长方形的长和宽），给乙组看到的正方形边长数据只是一个（分别如下图所示），解题时间仍然设定为150秒。

解题结束，笔者统计发现，甲组的正确率达80%，而乙组的正确只有40%。经过这次实验，笔者不敢说找到了全部错因，但至少发现了一个重要错因：复用信息容易淹没在多元信息中，从而被学生所忽视。此时，如果元认知不足，原有的认知会“惯性”地导致解题错误。这时笔者想起，像这样的例子还真不少，不仅在图形问题中，在应用题教学中，有一种错误也很常见，如，“张老师带了360元钱去买皮球，买了7个还剩150元。剩下的钱还可以买几个？”本题中数据“150”要用到2次，但部分学生列式到了（360－150）÷7以后会出现了困难。其实不仅是复用信息易被学生所忽视，隐含信息也容易被学生所遗忘，如在三角形面积计算时，学生常常根据条件中底和高的数据，把它们相乘而忘记了还要“÷2”。

从上述错因探访中可以发现，元认知在解决问题过程中的参与程度直接影响了解题结果，元认知能力强则有利于形成正确结果，元认知能力弱则容易产生直觉性错误。因此，笔者把直觉性错误定义为：由于认知“惯性”而产生的知识、方法、技能失常。

例5也是由于认知惯性而产生的错误：一个长方形的周长是24分米，把它平分后，正好是两个面积相等的正方形。每个正方形的面积是多少？错解：24÷2＝12分米，12÷4＝3分米，3×3＝9平方分米。在访谈中，学生认为把一个长方形平均分为两个正方形，长方形的周长也同时均分为两个正方形的周长。因此，把周长24分米先平均分成两份，结果是12分米。在学生看来，这个12分米就是一个正方形的周长。

本题的错误乍一看是方法性错误，但笔者之所以把这样的错误归为直觉性错误，是因为学生在解题时看到“平分”两字就非常“自然”地把面积均分等同于周长均分了。在问题转换阶段就出现了失误，还不是在方法选择阶段产生的错误，这当然和元认知能力的强弱有关。这种“自然”的理解表明，学生没有形成几何思维习惯，也就是说，学生没有习惯性地用图形表征的思维方法解决问题。

（4）记忆性错误

同一类型的问题如果在问题情景、数据结构大致相同的情况下，有时对，有时错，我们常常认为是“不巩固”，但在大部分情况下是正确的，偶尔犯错则有可能是记忆性错误。著名的数学教育家弗赖登塔尔在第四届国际数学教育大会的演说中提到一个他教过的十二岁的女孩子，她学过分数但把约分成，一个意想不到的错误，女孩子解释说：16＝2×8，24＝3×8，所以得。通过访谈弗赖登塔尔发现问题出在短时记忆上，也就是计算的中间结果的存储或再现中出现错误。于是，弗赖登塔尔给出了相应的方法解决了这个小女孩的问题。在长正方形周长、面积计算中也有类似的问题，如正方形的面积公式运用较之长方形的面积公式来说更容易错。特别是当学生受某些数据影响，正方形面积计算公式更加容易用错。例7，填表：正方形边长25厘米，面积是（　　）。25×4＝100平方厘米。在30位同学中，此题的错误率是23.3%。而在同一天作业的其他问题中（一张正方形方桌边长是12分米，桌面上配一块玻璃（有示意图玻璃大小与桌面大小相同），玻璃的面积是多少？）错误率只有10%。

人的记忆能力不尽相同，并且容易受情景或语义的干扰，像上例中的数据“25”，在小学里，计算学习占了较大比例，在教学时老师经常提醒学生“看到25就要想到乘4比较简便”，强调次数多了，学生记忆深刻，容易优先提取。当遇到语义相似但实质不同的问题时，就会出现错误。

（5）感知性错误

问题的阅读是问题解决的第一步，如果此时阅读不专注，错看、漏看条件，会导致“一招不慎，满盘皆输”的结果，十分可惜，令人遗憾。比如，例8：一张长方形桌子，长2米，宽8分米，桌面面积是多少？错解：2×8＝16平方分米。显而易见，学生在问题的理解、转换、策略的选择、技能操作等方面都没有问题，为什么还会出现错误呢？主要原因就出在问题的阅读环节上，学生没有注意到数据的单位是不一致的，没有统一单位就直接计算了，以致“功亏一篑”。

有丰富解题经验的人都知道，在问题阅读时注意力集中是解题成功的第一步。每个人都知道注意是什么，它是以清晰和生动的形式对可能同时呈现的物体中的一件或一系列思想中的一种的心理占据（詹姆斯，1983）。注意有个特点，它是选择性的。我们来做个小试验，假如读者您刚才正在专注地阅读这篇拙文，现在请您放下它，您是否听到了刚才没有听到的、没有听清的声音：窗外的车辆声，旁人的说话声、走动声……而这些声音并不是现在才有的，只不过在专心地阅读时被我们的神经系统“过滤”掉了。为了解释这些发现，有学者提出了注意的“过滤器理论”，指出在任何时候人们能够注意的信息量是有限的。如果得到的信息超过了这一容量，神经系统会让其中一些信息通过而阻挡其余的信息。（特瑞斯曼认为这些信息并不是被阻挡掉了而是有所衰减，奈瑟则认为这些信息既不是被阻挡也不是被衰减，而是未被认知加工）那么，哪些信息会被选择通过或加工呢？心理学家的结论是信息的“重要”性或者熟悉程度和个体心理“容量”的大小。在上述问题解决中，学生首先要将求桌面面积转化为求长方形面积，接着回忆起长方形面积计算公式和满足公式运用所需要的条件，然后运用公式计算出结果。对于那些忽视数量单位不同的学生来说，可能关注的是将情景问题理解、转化从而找到相应的公式，而对其他因素“视而不见”，也有可能是解决这样的问题已经耗尽了他的心理容量，其他因素则“无法兼顾”。在注意力失调的情况下，就算老师再三提醒学生仔细审题，学生还是不能发现条件中数据单位不一致的差别。在这种情况下，教师的责怪毫无意义，只能增加学生的失败感。