函数思想在解题中的具体体现

函数思想——解题的引航灯

王　贤

所谓函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题的思维策略。

数学家R．柯朗说过，“学生和教师若不试图从数学的形式主义和单纯的演算中跳出来，以掌握数学的本质，那么挫折和迷惑将显得更为严重。”所谓数学的本质就是数学的基本观点，即数学思想。在解题中站在数学思想的高度，抓住数学中最本质的东西去思考，就可以高屋建瓴，使解题科学化，变被动为主动。

一、从一道高考题谈起

在解题中与我们打交道最多的一件事就是变量，所以常常要把一个变量看作另一个或几个变量的函数，从而把题目转化为对函数的研究。数学家F．克莱因说过:“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函数来思考。”这就是函数思想。

例:设f(x)且当x∈－∞，(]1时f(x)有意义，求实数a的取值范围。

分析:该题入口通畅，即x∈－∞，(]1，a是参数，

将a分离得

下面怎样解学生往往不知所措。事实上，不等式右边是一个(－∞，+∞)上递增的指数函数，所以x= 1时取得最大值。

上面的例子说明数学概念和数学方法本身并不等于数学思想，即使学习了函数概念和函数性质，也不一定会用变量和函数的观点去思考，去解题。

函数是中学数学的中心课题，函数思想是中学数学特别是高中数学的一条主线。函数思想的建立使常量数学进入了变量数学，函数的运用使许多数学问题达到统一。所以用函数思想指导解题，可以使一些与变量有关的问题迎刃而解。

二、视参数或代数式为函数

一些题目常涉及求某个参数或代数式范围，这时这个参数或代数式就是变量，用函数思想来思考就可以把这个待求范围的参数或代数式看作某一字母的函数。

例:已知两条曲线:椭圆问a为何值时，两条曲线有公共点?

一般解法:从椭圆和圆的方程中消去一个未知数(如消去y)得到方程，因为两条曲线没有公共点，所以Δ≥0，解得a为R，这个结果是不正确的，因为当a= 6时，不符合题意，却被包括进去了，显然解法出了毛病。

现在我们换一个思路:把a看作x的函数，－3≤x≤3，两条曲线有公共点的集合相当于求函数的值域。计算可知－5≤f(x)≤5，即－5≤a≤5时两条曲线有公共点。

这道题使解析几何问题函数化并使问题得到解决。

三、利用函数性质解题

对一些表面上看不是函数的题目，如解方程、解不等式等，有时利用函数性质解往往比常规方法简捷得多。

例:方程x²－2a sin(cos x)+ a²= 0有唯一解，求a。

分析:令f(x)= x² 2a sin(cos x)+ a²，则f(x)为偶函数，又方程有唯一解，所以f(0)=0。所以a= 0或a=2sin1，利用函数性质使一道竞赛题迎刃而解，不能不说函数思想的力量很大。

四、构造函数解题

构造函数解题是函数思想在解题方法中的具体体现，他的特点是原来的题目不是函数问题，但可以把要解决的问题看作一个函数问题，构造出函数，再利用函数的性质解决，使思维从一潭死水到波涛汹涌。

例:已知－1＜a＜1，－1＜b＜1，－1＜c＜1

求证:ab+ bc+ ca+1＞0

分析:已知条件与所求证结论距离较远，学生容易没有思路，倘若设f(a)= ab+ bc+ ca+1=(b+ c)a+ cb+ 1，－1＜a＜1，则f(a)是关于a的一次函数。则当a= 1时，f(1)= b+ c+ cb+1=(c+1)(b+1)＞0;当a=－1时，f(－1)=－bc+ cb+1=(1－b)(1－c)＞0。因而f(a)＞0，即原不等式得证。

上面几个例子充分说明函数思想体现了在解决数学问题中的一种思维策略。自人们运用函数以来，经过长期的研究和摸索，科学界普遍有了一种意识，那就是函数思想，在运用这种思维策略去解决问题时，科学家们发现它们都有着共同的属性，那就是定量和变量之间的联系。

具体来说，函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般的，函数思想是构造函数(即“规定思想”)从而利用函数的性质(已知+未知+规定思想)解题。经常利用的性质是:f(x)在定义域下的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。

在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。