数学问题解决的认知模式

三、数学问题解决的认知模式

数学问题解决的认知模式由问题表征、模式识别、解题迁移和解题监控等4种认知成分以及个体拥有的数学知识基础、解题策略共同组成解决数学问题的认知模式。

1．数学解题的模式识别。

模式识别是认知心理学知觉领域集中研究的重要内容。所谓模式，是指若干元素或成分按一定的关系形成的某种刺激结构。模式有简有繁，复杂的模式往往是由多个子模式组成。认知心理学家西蒙指出：“人们在解决数学问题时，大多数是通过模式识别来解决的，首先要识别眼前的问题属于哪一类，然后以此为索引在记忆储存中提取相应的知识，这就是模式识别。”先要认出某种东西，由认出某种东西导致想起有关的知识。学生头脑中形成的模式越多，解题就越显得经验丰富、得心应手。施铁如通过对初一年级两组学生的对比研究发现，在解代数应用题中，认知模式主要表现在识别应用题的类型，被试者能否顺利解决问题在很大程度上决定于是否能正确辨认问题的模式。

知觉中的模式识别实际上是一种简单的问题解决，而较多复杂的问题解决也需识别模式，只是这种识别不是识别单个的概念特征，而是识别有关问题的类型、结构及相应的解决思路等“一群知识”。因此，知觉的模式识别与问题解决的模式识别在原理上有共同性，或者说，运用知觉模式识别理论模板说、原型说、特征说，都可建立相应数学问题解决模式识别的模型。

1．1　数学问题解决的模式识别模型。

1．1．1　模板说。

该学说是指在长时记忆中贮存有与当前问题完全对应的一对一的知识群，只需提取现存的模式就能解决问题。这些知识群一般是例题的解法本身，即学习者从例题的学习中获得例题的解法，但对例题的问题情境及其解法不进行抽象，在解决目标题时将例题的解法直接映射到目标题上。此方法是优秀生与差生都使用的主要方法，但不同的是，差生只能照葫芦画瓢，题目稍有变化，纵然实质未变，差生也难于解答。这主要是差生不仅贮存的模板少，且仅仅贮存了只与目标题完全一对一的模板。因此，长时记忆的模板只以模板方式贮存，这就出现了两个严峻的问题：一是其适应性差，难以对付问题的变化；二是人的记忆负担很重，学习者必须详细地记忆很多例题和例题的解法。在Reed＆Bolstad（1991）的研究中，把“工作算”问题分成8种不同情况，属于这个范围的最简单问题和最复杂问题很明确，学习者只要记住最简单问题和最繁杂问题与其解法就能解决属于这个范围的其它目标题。可是，当问题的难度增加了，目标题属于哪个范围？这个范围的最简单的问题和最复杂的问题未必清楚。因此学习者必须记忆很多的例题和解法才能解决目标题，这对于学习者是一个很大的负担。

1．1．2　原型说。

原型即指贮存在长时记忆中的模式，不是某一个特定的内容复本，而是一类客体的内部表征，它反映一类客体具有的基本特征。因此，当解决问题时，只要从长时记忆中搜寻到与目标题近似的原型，问题即得到解决。长时记忆中贮存的模式一般是“压缩解法”，即对例题的问题情境及其解法进行抽象和概括，使学习者获得比例题解法更抽象的知识，即“如何建立解法”的策略性知识。下面以“水池问题”为例分析一下“压缩解法”及其获得过程。问题：A、B、C三人同时从同一地点，沿着同一方向绕着水池运动。A走，B跑，C骑自行车，5分钟后C追上A，之后又用4分钟追上B．A的速度是每分钟70米，B的速度是每分钟在150米，C的速度是多少？

此题实质上是一道追击问题，从问题中找出一个相等关系列方程。C和A前进的距离差＝C和B前进的距离差＝水池的周长。设C的速度为x，C和A前进的距离差是（5x－5×70），C和B前进的距离差是（9x－9×150），方程式5x－5×70＝9x－9×150，由以上分析不难看出：建立方程的关键性知识是“两个人前进的距离差等于水池的周长”，将这一知识一般化，可概括出解决追击这类问题的策略性知识，即“两个人（或物）前进的距离差等于某一距离”。学生获得了这种知识，解决问题时就可以根据具体问题建立方程式。

模式以“原型”方式贮存，大大增强了其灵活性与适应性，极大地减轻了人的记忆负担。原型通常是在模板的基础上发展形成的，模板是原型的雏型。多数学习者开始贮存的总是模板，当学习者大量地遇到不同变式问题时，每解决一次，脑中的模板也随之得到相应的修改或某种程度的改变。随着解决问题的增多，模板逐渐演化成代表一类客体的概括性内部表征——原型。当然，可能有一些优等生，一开始形成的模式就是“原型”，而无需是模板。

1．1．3　特征分布说。

知觉模式识别的特征说指出，在模式识别过程中，首先对刺激特征进行分析，将抽取的有关特征加以合并与长时记忆中各刺激进行比较，一旦获得最佳匹配，外部刺激就被识别。此特征说强调是自下而上加工，而我们认为数学问题解决特征分析不仅有自下而上的加工，也有自上而下的加工，且后者常常是主要的。当学习者面对目标题感觉新时，说明在头脑中无现存的可直接利用的模式，这时需要从有关不同的模式中抽取适当的特征或知识组块组合成一个新模式，这个新的综合模式经多次运用，就生成了新的模式而被保存下来。因此，对数学问题的解决常常是自上而下和自下而上两种加工综合运用的结果，这种信息贮存在不同模式中的分布贮存方式，较“原型”来说，灵活性更大，适应性更强，特别是能避免“组合爆炸”，是一种更经济，并能解决新问题的贮存方式。

1．1．4　模式的表征。

不同的贮存方式体现了个体掌握知识的不同概括水平，在这几种贮存方式中，我认为“原型”应是最基本、最重要的贮存方式。它既是适应性较强的一种贮存方式，又是特征分布型的原料与基础。为此，下文我们只讨论“原型”。

关于原型的表征方式，心理学家有不同的观点，Reed等（1972）在研究知觉模式识别中，将原型视为一类客体的概括表征，而Rosch（1975）在研究概念中则认为原型是一个最佳实例，即是一个特定的个体。其实Reed、Rosch是在不同的范畴研究中提出两种原型，并不是对立的，这两种原型都是原型的表现形式，“原型”通常在模板基础上发展起来，形成后的“原型”也不是一成不变的，而是动态的，随着知识的积累、深化，“原型”逐步完善，其概括性越来越高，适应性越来越强。因此，原型的发展经历了一个从低到高的发展过程，即从最初“一对一的原型”演化为“最佳实例原型”，再演化为“概括表征原型”，其间经过由“解法”到“压缩解法”的过程。Reed的原型与Rosch的原型实际代表原型发展的两种水平。

不少研究表明，优等生之所以能正确、迅速地解题，其主要原因就是他们能从问题的本质特征上对问题进行分类，并根据目标题需用的“思维组块”来判断问题的类型。下面以两道题为例加以阐述。

例1　小明去商场买作业本，所带的钱刚好买最好的作业5本或次好作业本6本，他决定两种作业本买相同的本数，问最多买几本？

例2　修一段路，工程队甲单独修需6天完成，工程队乙单独修需8天完成，现两队分别从两端同时修，问从开始修到修通需多少时间？

数学学习困难学生往往认为第一题是按比例分配问题，而第二题是工程问题或行程问题，从而使问题复杂化。优等生则不然，他们认为两道都属于总体不知道情况下的比例关系问题，这类题的解法常常需要把总体看作为单位“1”。说明优生已掌握了此类题的“压缩解法”。布鲁纳在阐述“学科结构”时强调“尽快地使学生理解一门学科的基本思想”，强调“开始不是学习一种技能，而是学习一个一般观念，这个观念可以作为认识后继问题的基础，这些后继问题是开始所掌握的观念的特例”。为此，在教学中要着重让学生掌握问题的结构，分析构成问题的要术之间的内在联系，从问题的内在结构特征上把握问题的类型，从而创造性地解决新问题。

1．1．5　促进模式形成的教学策略——样例教学。

澳大利亚心理学家Sweller指出，传统的教学方式习惯于先由教师讲解例题，然后由学生模仿着做大量的习题，这种教学方式是低效的，不利于解题模式的形成和程序化知识的自动化。这是因为，学生在解答传统的习题时，头脑中最重要的目标是解答出未知条件，注意力集中在已知条件、未知条件和当前问题的状态上，认知容量几乎被占满了，没有认知容量可以让给模式获得。因此，他主张用解答好的例题来帮助学生形成模式。Pass等研究表明，样例教学有利于降低学习时的认知负担。Reed等的研究认为，抽象的模式必须在具体实例的使用中逐步抽象出来并达到自动化水平，离开大量实例的体验，很难形成真正有用的模式。朱新明等人实验证明，只要选例恰当，样例教学能使学生较快较好地掌握有关知识。学生不仅学会解决问题，而且还能从中总结出某些解题策略和启发式规则，并能调用新建立的启发式规则指导解题。

2．CPFS结构理论一个数学概念C的所有等价定义的图式，叫做概念C的概念域。如果一组概念C₁，C₂…C_n满足：C₁R₁C₂R₂C₃R₃…R_n－1C_n（＊）其中R_i（i＝1，2，…，n－1）表示弱抽象、强抽象或广义抽象这三种数学抽象关系中的一种，那么称（＊）为一条概念链，记为λ＝｛C₁，C₂，…C_n｝。如果两条概念链的交集非空，则称这两条链相交。如果m条概念链中的每一条都至少与其余的一条链相交，那么称这m条链组成的概念网络的图式为概念系。与命题A等价的命题集的图式叫做命题A的命题域。在一个命题集中，其中任意一个命题都至少与其他某一个命题有“推出”关系，就称这个命题集的图式为一个命题系。概念域、概念系、命题域、命题系（记为CPFS结构）是对数学认知结构的精确描述，它反应了数学学习特有的心理现象和规律。

3．数学解题的迁移。

（1）若A到B是强抽象关系，则A到B的迁移容易产生。（2）在强抽象、弱抽象、广义抽象关系中，迁移量依次减弱。（3）数学自我监控能力影响解题迁移。自我监控能力强的被试容易实现问题的迁移。（4）解题者对靶题与源题之间共性关系意识及加工水平，对低、高难度问题解决的迁移的影响没有显著差异；对中难度问题的解题迁移的影响有显著差异。（5）个体的CPFS结构与数学解题中的远迁移密切相关。优良的CPFS结构有助于远迁移的产生。（6）合理的样例结合自我解释能有效地促进解题远迁移的产生。在数学问题解决的学习中，样例可以让学生觉知解决问题过程的程序性知识，而自我解释可以从样例解决中把内隐的解决问题的经验外显化，从而达到提炼与归纳的效果。

付秋芳傅小兰研究了样例的个数对解决问题的影响，得到的研究结论是（《样例数量对内隐序列学习的影响》付秋芳傅小兰．《心理科学》2005第4期，P801）：①学生既可以记忆具体的样例知识也可以抽取抽象的规则知识；②样例数量影响被试对样例规则知识的获得，在样例较少时被试可以获得更多的样例规则知识。在应用样例进行解决问题教学中，让学生获取样例的规则知识是教学中应该追求的核心目标。在选择样例进行解决问题教学中，可以根据学生的数学现实水平进行样例的变式学习活动，如果为了更加明确地反映一类问题的基本结构与解决策略之间的关系，可以选择一致性样例（表面叙述不同而基本结构相同），这种样例对认知水平较低的学生和对问题类别解决过程教学中比较匹配；如果为了在解决问题中体现数学思想方法在不同类别问题解决中的应用（如分类讨论思想），而且面对的是具有较高数学认知水平的学生，那么可以选择变异性样例系列进行教学（表面叙述与基本结构变化而解决的基本思想与策略不变），这样会取得良好的效果。在解决问题的教学实践中，为了实现解决问题能力的远迁移，有以下的心理学研究成果值得我们借鉴（《多重样例的变异性和编码对迁移影响的实验研究》邢强 莫雷《心理科学》2005第6期P1382）：多重样例的变异性＋诱发自我解释有良好的效果，多重样例变异＋自发自我解释效果最差，而一致性样例条件下效果居前两者中间。

4．数学解题的监控。

（1）解题自我监控能力对解答低难度数学问题没有显著影响；对解答中、高难度以及开放性问题有显著影响。（2）在解答数学问题中，内部调节比外部调节的作用更大，即有效的内部调节比外部调节更有助于成功地解决问题。（3）优生与差生在解题自我监控能力以及CPFS结构方面都存在显著差异。（4）个体的数学自我监控能力和CPFS结构对数学学业成绩有显著影响，其中CPFS结构对数学成绩的影响更大。（5）个体的解题自我监控能力与CPFS结构在解答数学问题中有相对独立的作用，两者没有显著性相关，但可以相互补偿。

数学自我监控的特征表现在几个方面：其一，逻辑与直觉的相互作用；其二，知识与方法的相互渗透；其三，过程与结果的对立统一。