常用的平均指标

平均指标有数值平均数和位置平均数两种。

数值平均数是根据总体各单位所有标志值计算得来的平均数。常用的数值平均数主要有算术平均数、调和平均数和几何平均数。

算术平均数又称均值，是总体各单位某一数量标志值之和（总体标志总量）与总体单位数（总体单位总量）之比，反映总体各单位某种标志值的一般水平。由于所掌握的资料不同，算术平均数可分为简单算术平均数和加权算术平均数两种。

（1）简单算术平均数

当总体单位没有经过分组，即掌握的资料是总体各单位的标志值时，可采用简单算术平均数法计算平均数。其计算公式为：

其中：——简单算术平均数

x_i——总体各单位标志值

Σx_i——总体各单位标志值之和

n——总体单位数（总体单位总量）

【例3-5】

某物流企业技术岗的5名工人7月份的月工资分别为：3 000元、3 500元、4 500元、5 000元、4 000元。则这5名工人7月份的月平均工资为：

（2）加权算术平均数

当被研究对象总体单位数比较多，且各单位又有相同或相近的标志值时，在资料整体过程中往往将其分组。此时，可采用加权算术平均法计算平均数。由于变量数列有单项数列与组距数列之分，加权算术平均数的计算方法也分为两种。

① 根据单项数列计算加权算术平均数

如果掌握的资料是单项分布数列，可直接用各组次数对各组标志值加权（即用各组次数分别乘以各组的标志值）计算平均数。其计算公式为：

其中：——加权算术平均数

x_i——总体各单位标志值

f_i——总体各单位标志值出现的次数

Σx_if_i——总体各单位标志值之和

Σf_i——总体单位数（总体单位总量）

——总体各单位标志值出现的比重

【例3-6】

某物流企业50名仓管与辅工人员7月份的月工资如表3-3所示。

表3-3 50名仓管与辅工人员7月份的工资

通过观察我们不难发现，这50名工人7月份的工资构成如表3-4所示。

表3-4 50名仓管与辅工人员7月份的工资构成表

续表3-4

利用加权算术平均数的计算公式可得：

② 根据组距数列计算加权算术平均数

根据组距数列来计算平均数时，应先计算各组的平均数，用各组的组中值代替各组平均数，再以各组组中值乘以相应的权数计算加权算术平均数。

【例3-7】

某市100家物流企业第四季度的收入如表3-5所示。

表3-5 某市100家物流企业第四季度收入

假设各组企业主营业务收入在本组内是均匀分布，则我们可以用各组组中值为各组标志值，利用加权算术平均数公式计算这100家物流企业第四季度的平均收入：

注意

利用组中值代替组平均数是有一定假设性的，即假定组内标志值是均匀分布的，但实际上并不完全如此。所以，用组中值计算的加权算术平均数是一个近似值。

另外，在运用算术平均数作统计分析时，应注意算术平均数容易受极端值的影响。在一个总体中，各总体单位标志值中有极端值时，平均数的代表性就会收到很大影响。因此，在统计实务中，往往将总体中的极端值剔除后，再计算算术平均数，以提高算术平均数的代表性。

调和平均数是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，所以又称倒数平均数。调和平均数是平均指标的一种，也有简单调和平均数和加权调和平均数两种。

（1）简单调和平均数

简单调和平均数是在各标志值作为一个单位，对平均数起同等作用的条件下应用的。其计算公式为：

其中：——简单调和平均数

x_i——总体各单位标志值

n——总体单位数（总体单位总量）

【例3-8】

某物流企业运输货物的标价有三种：四环以外10.0元/公斤、三环至四环之间8.0元/公斤、三环以内5.0元/公斤。假定每种运输距离的货物各收取了1元运费，则运输货物每公斤的平均价格为：

（2）加权调和平均数

当总体中各个标志值不是同等单位，对平均数的作用不同时，应采用加权调和平均数的方法计算调和平均数。其计算公式为：

其中：——加权调和平均数

x_i——总体各单位标志值

m_i——总体各单位（组）标志值对应的总量

n——总体单位数（总体单位总量）

【例3-9】

某物流企业本月购进同种材料三批，每批价格及采购金额资料如表3-6所示。

表3-6 某物流企业三批次购进同种材料情况

则这三批材料的均价是：

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调和平均数和算术平均数的区别

相同点：两者都是平均指标的表现形式；两者都分为简单和加权；两者都是用总体标志总量除以单位总量得到的，从这一点说它们的实际意义是相同的，计算公式也可以相互推算。

不同点：当掌握的资料是总体单位数和总体各单位标志值时，则采用算术平均数公式计算；当掌握的资料缺乏总体单位数的资料，但有总体标志总量的资料时，则采用调和平均数公式计算。

几何平均数是指n个标志值连乘积的n次方根。凡是标志值的连乘积等于总比率或总速度的现象，都可以采用几何平均数计算平均比率或平均速度。根据掌握的统计资料不同，几何平均数分为简单几何平均数和加权几何平均数两种形式。

（1）简单几何平均数

当计算几何平均数的每个标志值的次数相同时，可采用简单几何平均数计算平均比率或平均速度。其计算公式为：

其中：——简单几何平均数

x_i——总体各单位标志值

n——总体单位数（总体单位总量）

【例3-9】

某物流公司2010～2013年的经营水平发展速度如表3-7所示。

表3-7 某物流公司2010～2013年的经营水平发展速度

则该物流公司这几年的平均发展速度为：

（2）加权几何平均数

当总体中每个标志值出现的次数不同时，则应采用加权几何平均数计算平均比率或平均速度。其计算公式为：

其中：——加权几何平均数

x_i——总体各单位标志值

f_i——总体各单位标志值出现的次数

【例3-10】

某物流企业发行为期20年的企业债券，按复利计息，前10年的年利率为12%，中间5年的年利率为9%，最后5年的年利率为6%，则：

计算结果表明，整个债券存续期内的年平均利率为9.72%。

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几何平均数与算术平均数、调和平均数比较

几何平均数较之算术平均数，应用范围较窄，它有以下特点：

（1）如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算几何平均数。

（2）几何平均数受极端值影响较算术平均数和调和平均数小。

（3）它适用于反映特定现象的平均水平，即现象的总标志值不是各单位标志值的总和，而是各单位标志值的连乘积的情形。对于这类社会经济现象，不能采用算术平均数反映其一般水平，而需采用几何平均数。

算术平均数、调和平均数和几何平均数三者之间存在以下数量关系：

只有当所有变量值都相等时，这三种平均数才相等。

位置平均数是先将总体各单位的变量值按一定的顺序排列，然后取某一位置的变量值来反映总体各单位的一般水平。常用的位置平均数主要有众数、中位数等。

众数是指一组数据中出现次数最多的标志值，用M_o表示。一般只有在总体单位比较多，且存在明显集中趋势的数列中才存在众数。有时在一组数据中可以有几个众数。众数不受极端数据的影响，并且求法简便。由于所掌握的资料不同，确定众数的方法可分为两种。

（1）单项分布数列确定众数

在单项分布数列的条件下，确定众数比较简单，只需通过观察找出出现次数最多的标志值即可。

【例3-11】

某制鞋厂要了解消费者最需要哪种型号的男皮鞋，调查了某百货商场某季度男皮鞋的销售情况，得到表3-8所示的资料。

表3-8 某商场某季度男皮鞋销售情况

从表3-8中可以看到，销售量最多的鞋号是25.5厘米，即上述数据的众数。直接用25.5厘米这个众数作为消费者对男皮鞋所需尺寸的集中趋势，既便捷又符合实际。

（2）组距分布数列确定众数

在组距分布数列的条件下，确定众数时应首先将出现次数最多的一组定位众数组，然后再利用插补法确定众数的近似值。众数在众数组的位置直接受相邻两组次数大小的影响，众数的数值始终偏向相邻组中次数较多的组；当相邻两组的次数相等时，众数则是众数组的组中值。众数的计算公式为：

其中：Δ₁——众数组次数与前一组次数之差

Δ₂——众数组次数与后一组次数之差

i——众数组组距

L——众数组下限

U——众数组上限

【例3-12】

某物流企业职工按月收入总额分组情况如表3-9所示。

表3-9 某物流企业职工按月收入总额分组情况

确定众数的步骤如下：

（1）通过观察发现“3 000～3 500”这一组的次数最多，故可确定该组为众数组。

（2）利用上限或下限公式计算众数的近似值。由上述资料可知，

L＝3000，Δ₁＝49-42＝7，Δ₂＝49-35＝14，i＝500

利用下限公式得

利用上限公式得

中位数是指将总体中各个标志值按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置（或最中间两个数据的平均数中）的那个标志值，用M_e表示。中位数与众数一样，是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。由于掌握的资料不同，确定中位数的方法也有所不同。

（1）根据未分组资料确定中位数

在资料未分组的情况下，先将各单位标志值按大小顺序排列，然后按下列公式确定中位数的位置：

上式中，n表示总体单位数。当n为奇数时，中位数就是居于中间位置的那个标志值；当n为偶数时，中位数是处于中间位置的那两个标志值的算术平均数。

【例3-13】

某物流企业有9名送货人员，其日送货件数依次为14、6、7、7、7、8、9、9、10。则确定其中位数的步骤如下：先将数据按大小顺序排列为6、7、7、7、8、9、9、10、14，则其中位数位置为（9+1）/2＝5，中位数为8（件）。

若该物流企业有10名送货人员，其日送货件数依次为9、9、10、6、7、7、7、11、14、18。则确定其中位数的步骤如下：先将数据按大小顺序排列为6、7、7、7、9、9、11、10、14、18。则其中位数位置为（10+1）/2＝5.5，中位数为（9+9）/2＝9（件）。

（2）根据分组资料确定中位数

对于单项分布数列，确定中位数的步骤如下：① 先确定中位数的位置；② 根据累计次数确定中位数所在的组；③ 中位数所在组的标志值就是中位数。

【例3-14】

某物流企业50名配货人员的日配货情况如表3-10所示。

表3-10 某物流企业50名配货人员的日配货情况

续表3-10

则确定其中位数的步骤如下：

① 确定中位数的位置（50+1）/2＝25.5；② 根据累计次数确定中位数所在的组。由于中位数的位置为25.5，由向上或向下累计次数可知，中位数所在的组是第四组；③ 第四组的标志值120件即为50名配货人员的日配货量的中位数。

对于组距分布数列，确定中位数的步骤如下：① 确定中位数的位置；② 根据累计次数确定中位数所在的组；③ 利用上限、下限公式求中位数的近似值。

中位数的计算公式为：

式中：M_e——中位数

L——中位数所在组的下限

Ｕ——中位数所在组的上限

Σf——总体单位总数

f_m——中位数所在组的次数

S_m－1——中位数所在组前一组的向上累计次数

S_m＋1——中位数所在组后一组的向下累计次数

d——中位数所在组的组距

【例3-15】

某物流公司20个驾驶员的油耗资料的组距分布数列如表3-11所示。

表3-11 某物流公司驾驶员的油耗资料

则确定其中位数的步骤如下：

① 确定中位数的位置（20+1）/2＝10.5；② 根据累计次数确定中位数所在的组是第三组；③ 由表3-10所示的资料可知，L＝10.0，U＝10.5，S_m-1＝7，S_m+1＝3，f_m＝10，d＝0.5，则

利用下限公式得

利用上限公式得

计算结果表明，20个驾驶员油耗的中位数为10.15升/百吨公里。