测量误差概述

在实际测量工作中，无论测距、测角，还是测高差，如果对某一观测量进行多次重复观测，无论测量仪器多么先进，测量方法多么严密，测量工作者多么认真仔细，而每一次测量的结果通常是互有差异的。例如，根据几何原理一平面三角形三内角之和理论值应为180°，但通过测角仪器对同一三角形三内角和进行多次观测，所得每次测量结果通常不是180°，而相互间也有一定的差异，这是什么原因呢？这是因为观测结果中存在测量误差的缘故，而且测量误差在测量结果中是不可避免的。因此，只有弄清测量误差产生的原因、规律及其特性，才能提高测量成果的质量，正确评判测量的精度。

5．1．1　测量误差的含义

测量中任何一个观测量，客观上都存在一个真实值X（又称为理论值），简称真值，对该量进行观测所得的值L称为观测值，通常将观测值与其真实值之间的差异Δ（不符值）称为真误差，其数学函数表达式为

Δ＝L－X　　（5．1）

5．1．2　测量误差的来源

产生测量误差的原因很多，其来源归结起来主要有以下3个方面：

1）测量仪器误差

任何一种测量仪器无论在设计、制造、使用等方面都不可能做到十全十美，即每一种测量仪器都具有一定限度的精密度，使观测结果受到相应的影响，这必然会给测量结果带来测量误差。例如，在用刻有厘米分划的普通水准尺进行测量时，就难以保证估读的毫米值的完全准确性；仪器本身也存在着一定的误差，例如，水准测量中水准仪的视准轴不水平误差，经纬仪测角中视准轴不垂直于横轴误差及横轴倾斜误差等，都属于测量仪器误差，它们都会使测量结果产生误差。

这里阐述的测量仪器误差是指仪器经过检验校正后残存的误差（即此项误差应限制在一定的范围内），而不是指测量仪器在设计、制造方面存在重大的缺陷或差错（即仪器含有较大的粗差），含有较大粗差的测量仪器在一般情况下不能用来进行测量工作。

2）观测者人为误差

观测者人为误差是指观测者在测量过程中严格按照测量规范正确操作测量仪器（对不按测量规范而导致错误或错误操作仪器所获得的测量结果应返工重测）产生的误差。由于观测者的视觉、听觉等感觉器官的鉴别能力有一定的限度，在仪器安置、照准、读数等方面产生的误差。与此同时，观测者的技术水平、工作态度也对观测结果的质量有直接的影响。例如，在水准测量中，水准尺的毫米估读误差、水平角观测中的仪器对中误差、瞄准误差都属于观测者人为误差。

3）外界环境条件误差

测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如地形、温度、风力、大气折光等自然因素都会给观测结果带来种种影响，况且这些因素又在随时发生变化，这必然会给测量成果带来测量误差。例如水准测量的大气折光差就属于这种由外界环境条件影响产生的误差。

5．1．3　观测与观测值分类

1）等精度观测和不等精度观测

测量工作主要由观测者、测量仪器和外界环境条件三大要素组成，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。根据测量时所处的观测条件可分为等精度观测和不等精度观测。在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器设备，用相同观测方法和在相同的外界环境条件下，由具有大致相同技术水平的工作人员所进行的观测称为等精度观测或同精度观测，所得观测值称为等精度观测值或同精度观测值。如果观测者、测量仪器和外界环境条件三者不完全相同，则称为不等精度观测或不同精度观测，所得观测值称为不等精度观测值或不同精度观测值。例如，两人用同一台光电测距仪各自测得的一测回水平距离值属于等精度观测值；如果一人用DJ2经纬仪、一人用DJ6经纬仪测得的一测回水平角度值，或两人都用DJ6经纬仪但一人测二测回，一人测四测回，各自所得到的均值则属于不等精度观测值。

2）直接观测和间接观测

根据观测量与未知量之间的关系可分为直接观测和间接观测，相应的观测值称为直接观测值和间接观测值。为测定某一观测量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，其观测值称为直接观测值。通过被观测量与未知量建立相应函数关系式来确定未知量的观测称为间接观测，其观测值称为间接观测值。例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而用视距测量则属于间接观测。

3）独立观测和非独立观测

根据各观测值之间是否有相互独立或相互依存的关系可分为独立观测和非独立观测。如果各观测量之间无任何相互依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，其观测值称为独立观测值。如果各观测量之间有一定的几何或物理条件约束，则称为非独立观测，其观测值称为非独立观测值。例如对某单个未知量进行多次重复观测，则各次观测是独立的，各观测值属于独立观测值。又如平面三角形的3个内角与三角形的角度闭合差，因角度闭合差由三角形的三内角算得，所以三角形的角度闭合差与3个内角之间属于非独立观测值。

5．1．4　测量误差的分类

根据测量误差性质的不同，可将测量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三大类。

1）粗差

粗差是一种超限的大量级误差，俗称错误，是由于观测者使用仪器不正确、操作方法不当、疏忽大意或外界环境条件的干扰而造成所得的错误测量结果，比如观测时瞄错测量目标，读错、记错或算错测量数据等造成的错误，或因外界环境条件发生显著变动而引起的错误测量结果。粗差的数值往往偏大，使观测结果显著偏离真值。因此，粗差在观测结果中是不允许存在的，一旦发现观测值中含有粗差，应将其从观测成果中剔除，该观测值必须重测或舍弃。一般来说，只要测量工作者具有高度的责任心，严谨科学的工作态度，严格遵守测量规范，并对观测结果及时作必要的检核、验算，这样粗差是可以避免和及时发现的。

2）系统误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果测量误差在数值大小和正负符号方面按一定的规律发生变化或保持一特定的常数，这种误差称为系统误差。例如用一把名义长为30 m而实际比30 m长出Δ的钢卷尺进行距离丈量，量出的结果比实际距离短了，假若测量结果为D′，则D′中含有因尺长不准确而带来的误差为－D′Δ／30，这种误差的大小与所量直线距离的长度成正比，而且符号始终一致。

系统误差随着观测次数的增加而逐渐积累，它具有一定的累积性，对观测的结果影响很大，但是由于系统误差在符号、大小上表现出一定的规律性，因而只要了解其产生的原因，就可以在实际工作中采取各种具体措施和方法来消除系统误差，或者将其对测量成果的影响削减到最小，达到实际上可以忽略不计的程度。消除或削弱系统误差通常可以采取以下具体措施：

（1）改正观测值

通过一定的方法确定系统误差的大小，对观测值进行改正，如用钢尺测量距离时，通过对钢尺的实际长度进行检定，然后与该钢尺所标注的名义长度比较求出尺长改正数，对用该钢尺所测得的观测值进行尺长改正和温度变化改正，来消除或削弱钢尺的系统误差。

（2）采用适当的观测方法

在测量过程中，采用适当的观测方法可以减弱系统误差对观测结果的影响。如在水准测量中，可以采用前、后视距相等的对称观测方法来减小视准轴不平行水准管轴所引起的系统误差对观测结果的影响；经纬仪测角时，采用盘左、盘右两个观测值取均值的方法可削弱视准轴不垂直于横轴、横轴倾斜等系统误差的影响；三角高程测量中，可采用对向观测的方法来减少系统误差对观测值的影响。

（3）校正仪器

要将系统误差对观测结果的影响降低到最小限度，或限制在允许的范围内，除了在测量过程中采用一定的观测方法和对观测值进行改正外，有时还需对仪器进行校正。如经纬仪照准部水准管轴不垂直于竖轴、度盘偏心、竖轴倾斜等系统误差对测角的影响，可通过精确检定仪器的方法来减弱其对观测结果的影响。

对系统误差的消除或削弱，取决于我们对它的了解程度。由于系统误差的存在形式是多种多样的，采用的测量仪器和测量方法不同，消除系统误差的方法也就不一样。因此必须根据实际情况进行分析研究，采取相应对策措施。

3）偶然误差

在相同的观测条件下，对某量进行一系列观测，如果测量误差在其数值的大小和正负符号上都没有一致的倾向性，即没有一定的规律性，这种误差称为偶然误差。例如经纬仪测角时，由于受照准误差、读数误差、外界环境条件变化所引起的误差等综合影响，测角误差的大小和正负号都不可预知，即具有一定的偶然性。这种性质的误差就属于偶然误差。

在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时产生的。当观测结果中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差呈现出系统的性质；反之，当观测结果中有显著的偶然误差时，观测误差呈现出偶然的性质。由于系统误差在观测结果中具有一定的累积性，对测量结果的影响特别显著，在实际工作中，应采用各种方法来消除系统误差，或减小其对观测结果的影响，使其处于次要地位达到可以忽略不计的程度。因此，对一组剔除了粗差的观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其控制在允许的范围之内，然后根据偶然误差的特性对该组观测值进行处理，求出与未知量最为接近的值，从而评判观测结果的可靠程度。

5．1．5　偶然误差的特性

在一切观测结果中，都不可避免地存在偶然误差。虽然单个偶然误差表现出不具有规律性，但在相同的观测条件下对同一量进行多次观测时，所出现的偶然误差就其总体而言就会遵循一定的统计规律，故有时又把偶然误差称为随机误差，我们可根据概率原理、应用统计学的方法来分析研究它的特性。

下面先介绍一个测量中的例子：在相同的观测条件下，观测了358个平面三角形的3个内角，由于观测值结果中存在误差，各三角形内角观测值之和一般不等于180°，产生的真误差为Δi，设三角形三内角之和真值为X，三内角观测值之和为Li， 则三角形内角和的真误差为

Δi＝Li－X　　（i＝1，2，…，358）

现将358个三角形内角和的真误差以误差区间dΔ进行分类（间隔为0．2″），按其绝对值的大小进行排列，统计出各区间的误差个数k及其相对百分率见表5．1。

从表5．1的统计结果可以看出，小误差出现的百分率比大误差出现的百分率大，绝对值相等的正负误差出现的百分率相近，误差的最大值不会超过某一特定值（本例为1．6″）。在其他测量结果中，当观测次数较多时，误差也会显示出同样的规律，因此，在相同观测条件下，当观测值的次数增大到一定量时，就可以总结出偶然误差具有如下的统计规律特性：

表5．1　误差统计表

①在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；

②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的可能性大；

③绝对值相等的正误差和负误差出现的几率相等；

④同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加而趋于零，即

式中　n———观测次数；

［　］———求和。

上述第四个特性可由第三个特性导出，这说明偶然误差具有相互抵偿性。这个特性对深入研究偶然误差的特性具有十分重要的意义。

为了更充分地反映偶然误差的分布情况，除了用上述误差分布统计表（表5．1）的形式外，还可以用较为直观的图形来进行表示。若以横坐标表示偶然误差的大小，纵坐标表示各区间误差出现的相对个数k／n（又称为频率）除以区间的间隔值dΔ（本例为0．2″）。这样，每一误差区间上方的长方形面积就代表误差在该区间出现的相对个数。这样就可以绘出误差统计直方图（图5．1）。