再谈“怎么想不到”到“怎么能想到”

陈庆宪

《教学月刊小学版》（数学）曾在2010年第10期刊登了麻彩虹老师所写的《从“怎么想到”到“怎么想不到”——“三角形面积计算”磨课记》。麻老师在文章中介绍了三种教学设计，第一种是给学生提供两个完全相同的直角三角形纸片、两个完全相同的锐角三角形纸片、两个完全相同的钝角三角形纸片，让学生把每两个完全相同的三角形拼摆成平行四边形推理三角形面积的计算方法。麻老师觉得这种方法提供的材料太明显了，学生还没经过思考就在教师的要求下摆出长方形或平行四边形，这不是学生自己探究出的方法。第二种方法给学生提供了画有格子的三角形（每格表示1平方厘米），让学生通过数格或剪拼把它转化成已学过的图形，推理三角形面积的计算方法。这种方法是从一个特殊的三角形通过剪拼来推理三角形面积的计算方法，而且这种方法过后，学生不会想到用两个完全一样的三角形来拼成平行四边形进行推理。接着麻老师介绍了第三种方法，先让学生观察一个长方形和两个平行四边形，先复习长方形和平行四边形的面积计算方法，接着把这三个图形连上对角线，分出了直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；这样，学生观察到每个三角形都是刚才长方形或平行四边形面积的一半，同样也自然地想到可以用任意两个完全一样的三角形去拼成平行四边形来验证三角形面积的计算方法。麻老师经历了三次磨课，比较推崇第三种方法。

麻老师的文章引发了笔者的思考。笔者认为，第三种方法学生虽然自己会想到，但是靠前面对长方形、平行四边形的对角线分成两个完全一样三角形的暗示，由于有分必有合，学生自然会想到用两个完全一样的三角形拼合回去。这种思维经历过程是比较直接的，这样的处理方式似乎也太直白了。那么怎样使学生经历有价值的思考呢？当时笔者写了一点补充作为探讨，发表在《教学月刊小学版》（数学）2011年第1、2期合刊上。主要做法是把麻老师的第二种有格子的三角形放在格子纸中（如图1，每格表示1平方厘米）。希望学生能借助于格子背景，对这种特殊的三角形，除想到数格子和割补的方法外，会想到图2的扩拼法。在实际教学中我们发现，学生开始都是直接去数三角形的格子，而在数的过程中会用到割补法。接着让学生进一步观察，一部分学生想到了扩拼法。在这一环节教学之后，我们给学生提供了画在纸上一个直角三角形、一个锐角三角形、一个钝角三角形，要求学生标上底和高，并采用画一画的方法把它转化成已学过的长方形或平行四边形。学生以画代摆，不仅画出了割补法，还运用了扩拼的方法，来推理三角形面积的计算方法。

图1

图2

时隔几个月后毕宏辉老师又在《教学月刊小学版》（数学）2011年第7、8期合刊上发表了文章，针对笔者以格子为背景的三角形探究法提出了三个观点。第一个观点认为提供给学生格子纸上的三角形是一个特殊的三角形，并提出数格时不到一格按半格算是否合理；按三角形中位线剪开再拼成平行四边形学生是想不到的。第二个观点认为推导三角形面积有两种策略（割补法和扩拼法），本课重点是扩拼法。第三个观点认为研究三角形面积要从“一类”到“几类”进行。于是，毕老师提出他的教学方案是从研究直角三角形的面积开始。

笔者认为毕老师的观点的确值得我们深思，并对毕老师提出的后两个观点完全赞同，但对第一个观点我认为值得商榷。让学生以格子为背景先研究这一特殊的三角形，从这一特例学生自己一定会想到去数格，把两个不到一格拼成一格，这实际上就是割补法；除此外学生还会慢慢地借助于格子背景想到把它扩拼成长方形或平行四边形，按扩拼之后的图形去数格和计算，三角形面积就是扩拼之后的图形的一半。从这一特殊三角形数格和扩拼，其目的是为了让学生自己去想到如何把任意一个三角形也做类似的转化得到面积的计算方法，这一过程也正是体现了从特殊到一般的认知规律。当然毕老师提供的教法也给我带来了很好的启示，毕老师先要求学生在一个长方形上画一条线段，产生出一个三角形，学生画出了（如图3）三种情况。学生很快说出了第一个图中这个直角三角形的面积是这个长方形面积的一半，只要测量这个长方形的长和宽，也就是直角三角形的两条直角边（底和高）就知道这个三角形面积应该怎样计算。接着让学生思考后两个直角三角形，学生虽然一时有点困难，但在教师的启发下：你们能不能也找到一个长方形，使这两个三角形成为它们的一半呢？学生经过思考，构建出（如图4）长方形，三角形的面积是长方形面积的一半，也就是两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形，计算三角形的面积只要测量这个长方形的长和宽，也就是测量直角三角形的底和高。然后教师向学生提出：给你一个锐角三角形或钝角三角形，你能否找一个面积是它2倍的长方形或平行四边形呢？接着学生操作以不同对应边拼摆出不同的平行四边形进行推导。

图3

图4

分析以上教法，首先，笔者认为毕老师对学习素材的处理很有创意，特别让学生在一个长方形中任意划分出不同的直角三角形，使学生很快进入一般直角三角形的面积探究中。但仔细思考这样的学习素材处理也避免不了麻老师所介绍的第三种方法，麻老师是对一个长方形和两个平行四边形，同时连上对角线来分别分出两个完全一样的直角三角形、两个完全一样的锐角三角形、两个完全一样的钝角三角形，而毕老师只是针对长方形分出了两个完全一样的直角三角形（如图3中的第一个图），从这个直角三角形的面积就是这个长方形面积的一半，再去思考后两个直角三角形如何分别扩拼成长方形。由于有了第一个图形的暗示，再加上教师的提示，学生才会想到图4的方法。另外，笔者认为采用这样的教学方案，学生还只局限于扩拼法，虽然扩拼法是教学的重点，但对学生来说前面刚刚学习了平行四边形的面积计算，对平行四边形的割补法（等积变形）的转化方法印象是很深的，如果在没有任何暗示的情况下，让学生思考，估计大部分学生想到的只会是怎样去割补，把它转化成已学过的图形。

通过以上分析，反思自己的教法确有很大不足。在某教研活动中，一位老师又要教学此课，不得不使我重新思考。借鉴毕老师从直角三角形入手，我觉得原来采用的“格子法”不能只给学生一个锐角三角形，而应该给学生同时提供三种三角形（预先发给每位学生如图5的格子纸，每格表示1平方厘米）。学生先观察直角三角形，因为直角三角形是学生最容易思考的，无论学生从怎样的角度去观察都能得到这个直角三角形的面积。在实际教学中，学生果然得出了以下的三种方法（如图6）。第一种方法，直接数格子（6个整格加上6个半格），得到面积是9平方厘米；第二种方法，把三种方法的上半部分的小直角三角形剪拼到下面，得到一个正方形，面积也是9平方厘米；第三种方法，把它扩拼成一个长方形，这个长方形由两个完全一样的直角三角形拼成，面积是长方形面积的一半，也得到9平方厘米。

图5

教师组织对以上三种方法反馈评价后，再让学生继续针对另外两个三角形进行观察思考。接着教师组织学生反馈评价，除了一部分学生说到割补外，还有相当多的学生说到扩拼法。（如图7是把锐角三角形扩拼成的图形。钝角三角形扩拼成的图略）

图6

图7

接着教师再向学生提出：对于任意三角形的面积也能用类似的方法来验证它的面积计算方法是“底×高÷2”吗？这时让学生拿出纸片学具，学生从中选出两个完全一样的直角三角形纸片、两个完全一样的锐角三角形纸片、两个完全一样的钝角三角形纸片，分别拼摆成长方形或平行四边形做进一步验证说理（如图8、图9、图10），教师及时组织学生反馈评价。

用两个完全一样的直角三角形拼成的长方形或平行四边形：

图8

用两个完全一样的锐角三角形拼成的平行四边形：

图9

用两个完全一样的钝角三角形拼成的平行四边形：

图10

反馈中教师抓住每一对三角形不同对应边的重合拼出的平行四边形，要求学生找出拼好的平行四边形的底和高与三角形对应的底和高，使学生全面验证三角形的面积计算方法。

最后教师要求学生拿出一个三角形，并向学生提出：你能不能只将一个三角形剪拼成已学过的图形，推理出三角形的面积计算方法。（过程略）

纵观以上分析，我们都在寻找如何让学生自己去想到三角形面积计算的推导策略。有这些不同教学方案的交流，应该感谢麻彩虹老师开始提出的“怎么想到”到“怎么想不到”的思考，这里的思考实质是对教学观念上的深究。我们都在想如何从学生的实际出发，更好地让学生经历有价值的数学活动过程；我们都在追求学生在自主发现的过程中哪一种素材和方法既给学生暗示因素小一些，又能促使学生主动地进行探究，只有这样学生才有可能获得更有价值的数学活动经验，更好地提高学生的观察、想象能力。