适当拓展练习

叶婉红（执教）　陈庆宪（评析）

如何针对“三角形内角和”知识，上好一节练习课？这一问题在以往的教学中并没有引起教师们的关注。在平常设计的练习中，见得较多的是重复已知三角形两个角的度数求第三个角的度数的题目，练习形式比较单一，难以激发学生的学习兴趣。我们针对这一内容，对练习做了深入思考，主要通过对数学自身内涵的挖掘，对练习内容进行适当拓展。现把教学的简要过程整理如下。

1.基本练习。

（1）判断：下面三个角有可能是同一个三角形的三个内角吗？

①70°，60°，50°　（　　）

②65°，65°，50°　（　　）

③37°，53°，100°　（　　）

④90°，40°，50°　（　　）

学生针对以上每组三个角的度数，判断出①、②、④中每组的三个角的度数相加都刚好是180°，所以都有可能是同一个三角形的三个内角。同时，教师要求学生回答②组的三角形是一个等腰三角形；④组的三角形是一个直角三角形。

教师提出：如果一个三角形的三个内角刚好是④组的90°，40°，50°，你能画出这样的三角形吗？

学生根据以上角的度数各自画出了直角三角形，这时教师从学生所画的三角形中找出了两个大小不同的直角三角形，利用投影呈现在屏幕上。提出：为什么会出现大小不一样的三角形呢？

生：它们的边的长短不一样。

师：也就是说两个三角形虽然三个角分别相等，但有可能什么不一样？（学生重述：有可能大小不一样，也就是有可能边的长度不一样）

教师借助于投影把两个大小不同的直角三角形按其中40°的角重叠在一起，接着再把一条直角边进行左右平移，与斜边和另一条直角边相交出多个直角三角形（如图1）。并提出：你们看到了这些三角形什么变了？什么没变？

图1

生：三角形的大小变了，三角形的三个内角的度数没变。

【评析】　运用三角形内角和的知识对以上四组角进行判断，使学生较快回忆起已学知识。而在这一环节中值得我们关注的是叶老师让学生在已知直角三角形的三个内角度数的情况下，画出这个三角形，这看似是一道画图题，却为以后要学习的“相似三角形”知识埋下了伏笔。学生在这样的画图、观察、比较中，知道了三个内角虽然分别相等，但它们的大小却可以不同。投影的展示，让学生初步感受到三条边是在同时缩短或延长，这也与以后要掌握的相似三角形的对应边成比例有关。

（2）分别算出以下三角形∠B的度数（如图2）。

图2

学生独立列式计算后，教师组织反馈评讲。针对②、③、④小题，引导学生根据三角形的特点交流计算方法。

2.拓展练习。

（1）用三角形内角和研究它的外角。

师：今天我们不但要熟练运用三角形内角和的知识，计算三角形中未知角的度数，而且还能运用这一知识去研究与它相关的一些知识。请同学们先来研究第一个问题。

投影出示问题一：用三角形内角和研究它的外角。（同时呈现图3）

图3

师：如图中的∠1，∠2，∠3都是三角形的一条边的延长线，与另一条邻边所夹的角，这样的角叫这个三角形的一个外角。请同学们根据下面要求完成学习。

①分别求出以上每个图形中指定角的度数。

②观察上面三个图形，你有什么发现？分小组讨论。

学生小组交流后，教师进行反馈评价。在评价中发现大部分学生都能按以下的方法进行计算，教师根据学生的回答板书每一个图的算式：

a图，∠1的邻角度数是180°-30°-30°=120°，再用平角减去邻角得到∠1=180°-120°=60°。

b图，直接看出∠2是直角，所以它的邻角是90°，∠A=90°-30°=60°。

c图，先计算∠3的邻角是180°-110°=70°，再计算∠A=180°-30°-70°=80°。

部分学生提出：我们发现，每个外角都刚好是它不相邻的两个内角的和。

师：是吗？大家仔细看一看是这样的吗？

生：是的！

这时教师又借助于投影在a图上点击C点，使它在BC的边或边的延长线上从左往右移动（其他两个顶点不动），使学生直观地感受到它的外角从小变大，而三角形的另一个内角也跟着从小变大。

【评析】　可以明显地看出教者设计这样的外角题材，其目的是通过外角与邻角的思考，进一步巩固三角形内角和的知识，并让学生发现三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。当然对于这一结论的掌握并不重要，重要的是学生经历了观察、发现的过程，借此来提高学生发现问题、解决问题的能力。

（2）用三角形内角和研究多边形的内角和。

师：刚才大家运用三角形内角和研究了三角形的外角问题，下面我们再来运用三角形内角和研究多边形的内角和。

投影出示问题二：用三角形内角和研究多边形的内角和。（呈现表格中四边形、五边形、六边形如图4）

图4

同时出示以下学习要求：

①想一想，以上各图有几个内角？

②请你用画一画、算一算的方法求出各图形的内角和是多少？

③想一想计算多边形内角和有什么计算规律？

④在小组内说说你的想法。

学生独立思考、计算，小组讨论后，再组织反馈评价：

四边形分成两个三角形，它的内角和是：2×180°=360°。

五边形分成三个三角形，它的内角和是：3×180°=540°。

六边形分成四个三角形，它的内角和是：4×180°=720°。

……

师：在分法上要注意从一个顶点出发，把多边形分成几个三角形（在上图中呈现出分法）。你们发现有怎样的计算规律了吗？

学生通过以上的类推，得出“n边形”的内角和是“（n－2）×180°”的计算规律。

教师又出示了凸四边形和凹四边形、凸六边形和凹六边形，并提出：请大家继续观察，它们的内角和是否还可以用以上计算方法计算？

在学生的互动交流中，教师呈现图中的分法，使学生知道这里的凹四边形和凹六边形的内角和仍然可以用这种计算方法得出内角和（如图5），就是在分割时要注意一般从凹进去的顶点出发去分出三角形。

图5

教师提出：是否所有的凹多边形都可以用这种方法计算内角和呢？

教师激发学生课外探究。

【评析】　设计这样一组多边形让学生去研究它们的内角和，其主要目的是让学生经历观察、尝试、操作、发现计算规律的过程，从而使学生获得一些数学活动经验。学生在找到凸多边形的分法之后，得出内角和的计算规律难度并不大。而叶老师不仅只满足凸多边形的内角和，还联想到了凹多边形。但针对一些凹多边形在分解成三角形时，在方法上是有一定技巧的，所以叶老师并没有过多地展开，只提到，所有凹多边形是否都可以用这种计算方法，激发了学生课外探究的欲望。

（3）用三角形内角和研究内角的变化。

①研究顶角的变化。

师：我们现在知道无论三角形怎样变化，它的内角和始终是180°，接着请大家观察下面一个直角三角形（利用投影先出示图6中的直角三角形ABC），现在把顶角的顶点沿着高的沿长线向上移动，形成三角形AB1C；再沿着高向下移动，形成三角形AB2C。要求思考：

图6

观察三角形AB1C和三角形AB2C，它们的内角与三角形ABC的内角相比，发生了怎样的变化？变化后的两个三角形分别变成了什么三角形？

学生小组交流后，教师组织反馈评价：

生1：三角形AB1C的顶角变小了，小于90°，而它的两个底角变大了。这个三角形变成了锐角三角形。

生2：三角形AB2C的顶角变大了，大于90°，而它的两个底角变小了。这个三角形变成了钝角三角形。

师：你们想象一下，如果顶角的顶点继续在这条高所在的直线上上、下移动，三角形的顶角和底角会有怎样的变化规律？

学生想象片刻后，教师在投影上继续拉动三角形的顶角，使学生直观地感受到顶点越往上移动，顶角越小；顶点越往下移动，顶角越大。

②研究与圆有关的三角形内角的变化。

师：刚才我们研究了三角形一个顶点在它高所在的直线上移动，如果把它的顶点放在一条圆弧上移动又会怎样呢？

教师利用投影先出示一个圆，再画上一条线段AB把圆分成两个半圆（四年级学生只是初步认识圆）。接着引导学生在圆弧上任意确定一点C，并将C点与A、B两点连接成一个三角形（如图7），提出：这样连接成的三角形又会是什么三角形呢？

图7

学生在预先发给的画有直径AB的圆的图上，按以上要求画三角形。当学生检验出这个三角形是直角三角形时，教师提出：是不是在圆弧上再任意找几个点，按同样方法连接起来的三角形，也同样是直角三角形呢？

一段时间后，学生兴奋地得出：都是直角三角形。（教师利用投影验证结论）

师：你们仔细观察这些直角三角形，直角所对的弧刚好是半圆弧，另外两个锐角所对的弧加起来也刚好是半圆弧，因为这两个锐角的和也是90°。

学生仔细观察，都发现了这一现象。

师：你们太厉害了，这一知识我们到中学才能学到呢，你们现在就发现这一现象，真了不起了。

教师借助投影先呈现图8中的圆外绿色的区域，并要求在这一区域内任意找一点，再与A、B连接成三角形。并提出：这样连接成的三角形又是什么三角形？

学生又在预先发的另一个画有圆外区域的图上，按以上要求连接三角形。

图8

当学生发现这样连接的三角形都是锐角三角形时，教师又提出：请大家在圆内也任意确定一点，看看连接的三角形又是什么三角形呢？

学生又经过操作、度量后，发现这样的三角形是钝角三角形。

这时学生产生强烈的好奇心，有学生说：数学太神奇了。这是为什么呢？

这时，教师在投影上，过一个钝角三角形顶点，画出底边上的垂线，此垂线交于圆弧上一点，这一点与AB连接成的又是一个直角三角形。并向学生提出：通过刚才画图过程的观察，你能找一些道理吗？

教师没有让学生马上回答，而是让学生带着好奇与悬念，结束了本课的练习。

【评析】　我们知道在图形与几何教学中很重要的一点，就是如何尽量做到化静为动。一般在演示图形动态之前，应先让学生在观察静态图形中去想象动态的变化，然后利用媒体演示，使学生在观察中再次验证自己想象的过程。叶老师在以上教学中已较好地演绎了这样的想象过程。我们看到，叶老师在第一步教学时，先让学生针对三个三角形进行观察、分析，并展开想象，然后把三角形的顶点沿着高所在的直线进行上下移动，使学生感受到随着顶点变化而引起的角的变化。这一步的想象又为下一步的练习提供了联系，在接下来的环节中教师巧妙设计了“圆”与“三角形”的一些相关知识。叶老师非常清楚这些知识是以后要学习的，不需要学生现在去搞清楚，只要求学生通过这样的过程，发现所连接出的三角形都是直角三角形就可以了。显然这样的设计很好地激发了学生的好奇心，使学生自然地感受到数学的内涵和魅力。

纵观全课的练习，我们深刻体会到，作为教师全面、深入掌握学科知识是多么的重要。我们都会说 “只有深入，才会浅出”，我觉得这仅是一个必要条件，它还需要教师有着深入思考的意识与习惯。只有把知识点放在整体结构中去思考，才会想到如何去进行知识的渗透；只有教师有这样的思考意识，才能想到如何去进一步拓展学生的思维。作为“三角形内角和”这一知识，在小学阶段是用实验的方法（测量、剪拼）来获得的，中学阶段是通过演绎推理的方法加以证明。中学在学习相似三角形时，我们知道最为重要的是认识三个内角的对应相等、对应边成比例，然而在以上教学中，叶老师有意识地让学生根据一个直角三角形的三个内角度数来画三角形，这样就自然地渗透了相似三角形的知识。我们还知道任意的凹多边形的内角和也可用“（n - 2）×180°”来计算，在分割三角形时，因有不同的方法，所以我们在练习时只给学生呈现两个特殊的凹多边形，并在教学时采取点到为止的方法，仅给学生带来一些思考。我们还知道学习圆的知识时，圆周角的度数的知识是相当重要的，尤其直径所对的圆周角是直角。而对于四年级的学生通过这样作图会发现这样的事实，我们的目的是借助于这样的事实，引发学生深入思考。由此可见，只要我们经常针对学习内容，适当创设拓展性的练习，同时注意把握好练习的度，就会在不知不觉中，培养了学生的发散思维和探究意识。