高斯与比萨

数学概念：形状

试试这个吧：取一张报纸，把它折成一个西瓜，就当是送给朋友的生日礼物。你会发现什么呢？不论你怎么尝试，总是会有突起的褶痕，它的表面永远不会像西瓜那样平滑（要想让它像西瓜表面那样平滑，你得拿起剪刀修剪，即使这样，可能也还得抹平这里或那里的褶痕）。实际上，你是不可能折出一个平滑的表面的，就像一张纸，不经过弯曲、修剪和抹平，是不可能折成一个球体的。

反之亦然。把一个柚子剥开，留下球形的柚子皮，试着把它展平。结果，柚子皮会裂开，除非把它切开或撕开，否则不可能完全展平。那么，把平面变成圆面，或把圆面变成平面，为什么这么难呢？是什么妨碍了平面和圆面之间的相互转换？

我们可以从一块比萨和德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯的著作中找到答案。高斯（1777—1855年，在数学史上有着重要的地位，被视为古希腊以来最伟大的数学家之一，也被尊为“数学王子”，他教过奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯，参见第7章）提出了关于曲面的绝妙定理（它的拉丁文原意是非凡的定理）。

要理解高斯的绝妙定理，可以设想一个人被缩小到10厘米高，然后被放在一个圆柱体的表面上，如果让他沿着表面走，他可以选择很多种路径，例如，他可以走直线，穿过圆柱体的一个底面，或者沿着圆柱体的侧面走，最后回到起点（我们得假设，这个小人穿着黏性很好的鞋子）；他也可以螺旋前进，在绕着侧面走的同时，也沿着高线走。高斯的绝妙定理认为，圆柱体的曲面是可以测量的：将这些路径都考虑在内，把它们相乘，最后得到一个单一值。平直路径的曲率是零，因为它是平直的，曲线路径的曲率则为正。（凹曲线，即向内弯曲的曲线，曲率为负。）把这些路径的曲率相乘，即一个正数乘以零，最后的结果终为零（因为任何数与零相乘，结果都为零），所以，这个圆柱体的高斯曲率就是零。

高斯的绝妙定理也解释了经过变形的表面的曲率，只要不破坏它的完整性，无论是弯曲还是拉伸，它的高斯曲率始终保持不变。因此，不论怎么弯折或扭曲一个圆柱体，它的高斯曲率永远不变。

这让我们想到了比萨。如果你曾水平拿过一块比萨，因为挂着奶酪和意大利香肠，它的尖端总是耷拉着，让人难以下口。相反，如果把它垂直折一下，它的尖端就会凸成一条直线，上层配料也不会掉落。为什么？计算一块未经弯曲的比萨的曲率，得到的结果是零（那个10厘米高的小人能走的所有路径都是平直的），也就是说，不论怎么移动或弯曲这块比萨，它的曲率始终为零。

现在，再看水平拿着的比萨，我们注意到，从表面到尖端的路径是弯曲的，从一边到另一边的路径则是平直的，如果我们把它垂直折一下，从一边到另一边的路径变成了弯曲的，从表面到尖端的路径则变成了直线。

这说明什么呢？不论比萨怎么弯曲，它的表面上总有一条路径是平直的（因为平直曲线的曲率是零，只要一条路径的曲率为零，最后的总曲率也为零）。如果从一边到另一边的路径是平直的，从前到后的路径一定是弯曲的；如果从一边到另一边的路径是弯曲的，从前到后的路径一定是平直的。

回到最初的问题———为什么不能用一张纸折出齐平的西瓜，或者展平一块柚子皮？原因在于，平面物体和圆面物体的高斯曲率不同。所以，下次点比萨的时候，不要忘了高斯和他的绝妙定理，不妨把比萨垂直折一下。

卡尔·高斯

卡尔·高斯是一个神童。有一次，在学校里，老师让他把1～100的所有数相加，不到几秒钟，他就得出了答案。他发现，这100个数可以分成50对———1和100，2和99，3和98，依此类推，每一对数相加的和都是101，所以最后的结果就是101×50＝5050。