平稳序列的预测

平稳时间序列通常只含有随机成分，其预测方法主要有简单平均法、移动平均法和指数平滑法等。这些方法主要是通过对时间序列进行平滑以消除其随机波动，因而也称为平滑法。平滑法既可用于对时间序列进行平滑以描述序列的趋势（包括线性趋势和非线性趋势），也可用于对平稳时间序列进行短期预测。

9．3．1 预测效果的判断

我们在选择了某一种特定的方法进行预测时，需要评价该方法的预测效果或准确性。评价的方法就是找出预测值与实际值的差距，这个差值就是预测误差。最优的预测方法也就是预测误差最小的方法。预测误差的计算方法有许多种，如平均误差、均方误差、平均绝对误差、平均百分比误差和平均百分比绝对误差等，选择哪种方法取决于预测者的目标、对方法的熟悉程度等。

9．3．1．1 平均误差

设时间序列的第i个观察值为Yi，预测值为Fi，则所有预测误差 Yi－Fi的平均数就是平均误差（mean error，ME），其计算公式为：

其中，n为预测值的个数。

由于预测误差的数值可能有正有负，而求和的结果就会相互抵消，因此平均误差可能会低估误差。

9．3．1．2 平均绝对误差

平均绝对误差（mean absolute deviation，MAD）是将预测误差取绝对值后计算的平均误差，其计算公式为：

平均绝对误差可以避免误差相互抵消的问题，因而可以准确反映实际预测误差的大小。

9．3．1．3 均方误差

均方误差（mean square error，MSE）是通过平方消去误差的正负号后计算的平均误差，其计算公式为：

9．3．1．4 平均百分比误差和平均绝对百分比误差

ME、MAD和MSE的大小取决于时间序列数据的水平和计量单位的影响，有时并不能真正反映预测模型的好坏，它们只有在比较不同模型对同一数据的预测时才有意义。而平均百分比误差（mean percentage error，MPE）和平均绝对百分比误差（mean absolute percentage error，MAPE）则不同，它们消除了时间序列数据的水平和计量单位的影响，是反映误差大小的相对值。平均绝对误差计算公式为：

平均绝对百分比误差计算公式为：

对于上面介绍的预测误差的计算方法来说，哪种方法是最优的，目前还没有普遍一致的看法。本章采用均方误差（MSE）来评价预测方法的优劣。

9．3．2 简单平均法

简单平均法是根据过去已有的t期观察值通过简单平均来预测下一期数值的方法。设时间序列已有的t期观察值为Y1，Y2，… ，Yt，则第t＋1期的预测值Ft＋1为：

当到了第t＋1期后，有了第t＋1期的实际值，我们便可计算出第t＋1期的预测误差et＋1为：

et＋1＝ Yt＋1－Ft＋1（9．13）

因此，第t＋2期的预测值为：

依此类推。

简单平均法适合对较为平稳的时间序列进行预测，即当时间序列没有趋势时，采用该方法比较好。但是，如果时间序列有趋势或季节成分时，该方法的预测不够准确。此外，简单平均法将远期的数值和近期的数值看做同等重要。但从预测角度看，近期的数值要比远期的数值对未来有更大的作用，因此简单平均法预测的结果不够准确。

9．3．3 移动平均法

移动平均法（moving average）是通过对时间序列逐期递移求得平均数作为预测值的一种预测方法。移动平均法是对简单平均法的一种改进方法。其方法有简单移动平均法（simple moving average）和加权移动平均法（weighted moving average）两种。

9．3．3．1 简单移动平均法

简单移动平均是将最近的k期数据加以平均，并将其作为下一期的预测值。设移动间隔为k 1＜ k＜ t ，则第t期的移动平均值为：

上式是对时间序列的平滑结果，我们通过这些平滑值就可以描述出时间序列的变化形态或趋势。当然，我们也可以用它进行预测。

第t＋1期的简单移动平均预测值为：

同样，第t＋2期的预测值为：

依此类推。

移动平均法只使用最近k期的数据，在每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k。该方法主要适合于预测较为平稳的时间序列，其应用的关键是确定合理的移动间隔长度k。对于同一个时间序列，采用不同的移动步长预测的准确性是不同的。我们在选择移动步长时，可通过试验的方法，以选择一个使均方误差达到最小的移动步长。

【例9‐4】 根据表9‐2中的居民消费价格指数数据，分别计算其3期和5期的移动平均值作为预测值，并比较预测效果。

表9‐2 居民消费价格指数移动平均计算结果

从预测结果看，3期移动平均的均方误差为89．55（1074．7÷12），而5期移动平均的均方误差为87．36（873．6÷10）。因此，就本序列而言，采用3期移动平均和5期移动平均预测的效果相差不大。

9．3．3．2 加权移动平均法

简单移动平均法在预测时，将每个观察值都给予相同的权数。但实际上，近期的观察值和远期的观察值对预测的重要性是不同的。加权移动平均法就是在预测时，对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测。一般来说，当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，而比较远的时期的观察值赋予的权数依次递减。当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数。但是，所选择的各期的权数之和必须等于1。

同样，我们对于移动间隔（步长）和权数的选择，也应以预测精度来评定，即用均方误差来测度预测精度，从而选择一个均方误差最小的移动间隔和权数的组合。

9．3．4 指数平滑法

指数平滑法（exponential smoothing）是对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法，该方法使得第t＋1期的预测值等于第t期的实际观察值与第t期指数预测值的加权平均值。

指数平滑法是加权平均的一种特殊形式，观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑。指数平滑法有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等，本节主要介绍一次指数平滑法。

一次指数平滑法也称单一指数平滑（single exponential smoothing），它只有一个平滑系数，而且当观察值离预测时期越远时，权数越小。一次指数平滑是以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为第t＋1期的预测值，其预测模型为：

Ft＋1＝ αYt＋ 1－αFt（9．18）

其中，Yt为第t期的实际观察值；Ft为第t期的预测值；α为平滑系数 0＜ α＜ 1 。

我们由（9．18）式可以看出，第t＋1期的预测值是第t期的实际观察值与第t期的预测值的加权平均。由于在开始计算时，我们还没有第1个时期的预测值F1，因而通常是设F1等于第1期的实际观察值，即F1＝ Y1。因此，第2期的预测值为：

F2＝ αY1＋ 1－αF1＝ αY1＋ 1－αY1＝ Y1

第3期的预测值为：

F3＝ αY2＋ 1－αF2＝ αY2＋ 1－αY1

第4期的预测值为：

F4＝ αY3＋ 1－αF3＝ αY3＋α1－αY2＋ 1－α2Y1

依次类推。

可见，任何预测值Ft＋1都是以前所有实际观察值的加权平均。尽管如此，并非所有的观察值都需要保留，以便计算下一时期的预测值。实际上，一旦选定平滑系数α，我们只需要两项信息就可以计算预测值。（9．18）式表明，只要知道第t期的实际观察值Yt与t期的预测值Ft，我们就可以计算第t＋1期的预测值。

在使用指数平滑法时，关键的问题是确定一个合适的平滑系数α。这是因为不同的α会对预测结果产生不同的影响。例如，当α＝ 0时，预测值仅仅是重复上一期的预测结果；当α＝1时，预测值就是上一期的实际值。α越接近1，模型对时间序列变化的反应就越及时，因为它对当前的实际值赋予了比预测值更大的权数。同样，α越接近于0，意味着我们对当前的预测值就会赋予更大的权数，因此模型对时间序列变化的反应就越慢。一般来说，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的α，以便能很快跟上近期的变化；当时间序列比较平稳时，宜选较小的α。但在实际应用时，我们还应考虑预测误差，这里仍用误差均方来衡量预测误差的大小。在确定α时，我们可选择几个α进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的α值。

此外，与移动平均法一样，一次指数平滑法也可以用来对时间序列进行修正，以消除随机波动，找出序列的变化趋势。

【例9‐5】 根据表9‐3中的居民消费价格指数数据，分别选择α＝0．3，α＝0．4，和α＝0． 5进行指数平滑预测，并比较预测效果。

表9‐3 居民消费价格指数的指数平滑计算结果

比较各误差平方可知，α＝ 0．5时预测的效果最好。但我们在用一次指数平滑进行预测时，一般α取值不大于0．5。若α大于0．5才能接近实际值，通常说明序列有某种趋势或波动过大，一般不适合用指数平滑法进行预测。