偏态与峰态的度量

集中趋势和离散程度是数据分布的两个重要特征，但要全面了解数据分布的特点，还需要掌握数据分布的形状是否对称、偏斜的程度以及扁平程度等。反映这些分布特征的测度值是偏态和峰度。

4．3．1 偏态及其测度

偏态（skew ness）是对分布偏斜方向和程度的测度。有些变量值出现的次数往往是非对称型的，如收入分配、市场占有份额、资源配置等。变量分组后，总体中各个体在不同的分组变量值下分布并不是均匀对称的，而是呈现出偏斜的分布状况，统计上将其称为偏态分布。

利用众数、中位数和平均数之间的关系就可以判断分布是对称、左偏还是右偏，但要测度偏斜的程度则需要计算偏态系数（coefficient of skewness）。偏态系数是对数据分布不对称性的度量值，记作SK。偏态系数的计算方法很多，未分组数据偏态系数计算通常采用如下公式：

其中，s3是样本标准差的三次方。

对分组数据，则偏态系数可采用下述公式：

偏态分布测度了数据分布的非对称性程度。如果SK等于0，表明数据分布是对称的；如果SK不为0，则数据分布是非对称的；SK大于0，数据分布是右偏或正偏的；SK小于0，数据分布是左偏或负偏的；SK大于1或小于 －1，为高度偏态分布；若SK在0．5 ～ 1或－0．5～－1之间，是中等偏态分布。偏态系数SK越接近0，偏斜程度越低。

【例4‐9】 电脑销售数据如表4‐7所示，假设已知其标准差为21．58，要求计算电脑销售量的偏态系数。

表4‐7 偏态系数及峰态系数计算表

解：将计算结果代入公式（4．16）得

偏态系数为正，但数值不大，说明销售量数据为右偏分布，偏斜程度不大。

4．3．2 峰态及其测度

峰度（kurtosis）是分布集中趋势高峰的形状。在变量数列的分布特征中，常常以正态分布为标准，观察变量数列分布曲线顶峰的尖平程度，统计上称之为峰度测度。如果分布的形状比正态分布更高更瘦，则称为尖峰分布，见图4‐2（a）；如果分布的形状比正态分布更矮更胖，则称为平峰分布，见图4‐2（b）。

图4‐2 尖峰、平峰分布

对数据分布峰态的度量值，称为峰态系数（coefficient of kurtosis），记做K。未分组数据计算峰态系数时，通常采用如下公式：

分组数据的峰态系数计算公式则为：

峰度系数是统计中描述次数分布状态的又一个重要特征值，用以测定邻近数值周围变量值分布的集中或分散程度。由于正态分布的峰度系数为0，当K＞0时为尖峰分布，此时数据分布集中；K ＜ 0时为扁平分布，数据分布分散。

【例4‐10】 继续例4‐9，要求计算该变量数列的峰度。

解：根据表4‐7中有关数据计算峰度系数如下：

峰态系数K ＝ －0．306＜0，说明销售量数据分布与正态分布相比略呈扁平分布。

阅读案例

偏态分布的收入水平

收入水平往往是偏态分布的。例如，你的邻居中大多数可能是小农、在附近村庄上班的工薪阶层或是靠养老金为生的退休老人，但有3户邻居是百万富翁，他们仅仅是来此度周末。就是这3户邻居的收入提高了总收入，相应地抬高了算术平均数。这样一来，均值达到了绝大多数家庭遥不可及的水平，几乎每个人都低于平均数。虽然这听起来像是笑话或者文学修辞，但的确是不争的事实。

让我们来看一个简单的例子。假设你是某个小型制造企业的3个合伙人之一。这是丰收的一年，到了年底，你给企业的90个职工共发了99000英镑，他们的工作是生产、运输椅子，或者你所经营的任何东西。你和其他合伙人每人各获得5500英镑的工资；最后还余下21000英镑，作为利润可供你们3个合伙人平分。

这种情况下，职工的平均工资是1100英镑，所有者的平均工资及利润为12500英镑。看上去太不公平了，不是吗？让我们来试试另一种形式：从利润中拿出15000英镑以奖金的形式平分给3位合伙人。这一次将所有者和职工的工资进行平均，不要忘记还是采用均值，结果变成：所有人员的平均工资或薪金1403英镑，所有者平均利润2000英镑。

哈，看上去好多了吧。虽然还能进一步改善，但这已经有了长足的进步，总额中只有低于6％的部分形成了利润。如果乐意，你还可以继续如法炮制。但不管怎样，现在的结果已经足以作为公布的内容张贴在公告栏中，或者作为与职工谈判的依据。

资料来源：上海财经大学《社会统计学》省级精品课程网站（有改动）。