阿波罗尼奥斯与圆锥曲线

阿波罗尼奥斯(Apllonius，约前262—前190)是欧几里得的学生，出生在小亚细亚的佩尔加，青年时代在亚历山大城与当地的数学家合作研究，晚年著《圆锥曲线论》(6卷)，闻名于世. 该书是在前人成果基础上(欧几里得、阿基米德等)写成的，圆锥曲线理论完整，论证详尽严格，几乎使后人无插足之地，代表了希腊几何学的最高水平. 该书共8篇，487个命题，写作风格犹如欧几里得、阿基米德.

阿波罗尼奥斯是第一个依据同一个(正的或斜的)圆锥的截面来探讨圆锥曲线的人，是第一个发现双曲线有两支的人[4].

如图1.6所示，全部圆锥曲线都统一在圆锥里，它们都可以通过不同平面去截圆锥面而得到(包括退化的圆锥曲线). 我们先看看阿波罗尼奥斯对圆锥曲线巧妙的定义. 阿波罗尼奥斯指出:给定一个圆BC及圆所在平面外一点A(见图1.7)，则过点A且沿圆周移动的一条直线便生成一双锥面，这圆叫做圆锥的底，A到圆心的直线叫做圆锥的轴.若轴垂直于底就是正圆锥，否则便是斜圆锥.设锥的一个截面与底平面交于直线DE，取底圆垂直于DE的一条直径BC，于是△ABC含有圆锥轴称为轴三角形，设这三角形与圆锥交于P及P'，截面与轴三角形的交线是PP'M(若所作圆锥为正圆锥，或平面ABC⊥平面BC时，PM⊥DE). 再设QQ'是圆锥曲线的弦且QQ'∥DE，因而QQ'被PP'平分，所以

图1.6

现作AF∥PM，交BC延长线于F，再在截面上作PL⊥PM，对椭圆和双曲线，取L使适合条件

对抛物线，取L使适合条件

图1.7

在椭圆和双曲线的情形，作P'L，从V作VR∥PL交P'L于R.(在双曲线的情形，P'在双曲线的另一支上，须延长P'L才能定出R.)阿波罗尼奥斯在作出一些辅助线之后，证明对于椭圆和双曲线有

QV2=PV·VR (1.20)

在抛物线的情形，上式不成立，而有

QV2=PV·PL (1.21)

阿波罗尼奥斯把QV称作圆锥曲线的一个纵坐标，所得结果式(1.20)便说明纵坐标线的平方等于PL上的一个矩形PV·PL.又证明在椭圆的情形，这矩形未填足整个矩形PV·PL，而亏缺一个相似于矩形PL·PP'的矩形LR，故把椭圆称为“亏曲线”. 在双曲线的情形下，式(1.20)仍然成立，但作图结果是VR大于PL，矩形PV·VR＞矩形PL·PV，而所超出的那个矩形LR与矩形PL ·PV相似，因此把双曲线叫做“超曲线”. 在抛物线的情形下， QV2的那个矩形恰好是与PL相齐的矩形PV·PL，因此把抛物线叫做“齐曲线”.

式(1.20)、(1.21)是圆锥曲线的基本平面性质，是用纯几何方法推出的. 实际上完全可以用解析几何方法翻译出来.

若令PL=2p，pp'=d，若x=PV，y=QV，则由式(1.21)得出

y2=2px

即为抛物线的方程.

对于椭圆. 先从定义它的方程(1.20)得出 y2=PV·VR，但PV·VR=x(2p-LS)，又用矩形LR相似于矩形PL·PP'，所以

于是

对于双曲线，有

显然抛物线方程少这一项，若把d看作无穷大，则→0，也就是说，抛物线方程是椭圆与双曲线的一种极限情况. 由此可以看出，它蕴含着鲜明的解析几何思想.

阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线性质的研究，是十分全面而深入的，其命题都可以从《几何原本》的10个公理推出，内容与逻辑结构浑然一体. 这就是阿波罗尼奥斯的超然之处，表明数学是对自然界进行研究的工作之一，是了解宇宙的钥匙，因为数学规律是宇宙布局的精髓.

我们还可把锥的顶点看作透视中心，锥面的母线看作投射线，把正圆锥的底(图)投射到截面上，得到一条投影曲线，因截平面的角度不同而产生不同的投影线，研究这些截线的共同性质，就是射影几何思想. 因此，射影几何的某些思想，早在公元前200年左右就已经出现.

[1] 径三分合0.69厘米，长6寸合13.8厘米.

[2] 这块泥板文书为普林顿(G.A.Ptimpton)所收藏，编号为322，故又称普林顿322数表.

[3] 罗素著，亚北译. 西方的智慧. 北京: 中国妇女出版社，2004.

[4] ［美］英里斯·克莱因著.《古今数学思想》.上海: 上海科技出版社，2002:102～112.