保守力与势能

质点从初始位置移动到终结位置，如果作用在质点上的力所做的机械功与移动路径无关，只与质点始末位置有关，则称作用在质点上的力为保守力；反之，则称为非保守力。在一个物理系统中，如果保守力是唯一的作用力，则称此系统为保守系统。而保守系统始末位置的势能差定义为保守力沿任意路径将保守系统中质点从初始位置移动到末位置所做的功。常见的保守力有万有引力、弹力、电场力等；常见的非保守力有摩擦力、黏滞阻力、非弹性材料中的应力等。

一、保守力与势能概念提出的背景

一般情况下，一个力使物体沿曲径从一点运动到另一点时做功的大小依赖于路径，但自然界中有些力具有非常引人注意的性质。例如重力，它移动物体做的功与物体运动路径无关，我们称这类力为保守力。

关于势能，早在古希腊时期，亚里士多德就提出“潜能”一词。亚里士多德的“潜能”主要是指某种事物所拥有做功的可能性。与此相对的是他提出的“现实”，指的是事物的变化或实现可能性。亚里士多德用潜能与现实的二分法原则解释物质运动、因果关系、伦理道德、生理现象。与现在我们理解的势能相比，“潜能”有着很明显的哲学内涵。

17世纪德国著名哲学家、数学家莱布尼茨提出过动能和重力势能之间的转化（在当时，尽管牛顿已提出万有引力，重力是否存在仍有争议），然而，第一个提出“势能”这个词的是19世纪苏格兰工程师、物理学家William Rankine。他在一篇文章中，将所有形式的能量分为两类：一类是真实可感知的能量，他称之为动能；另一类是潜在的能量，他称之为势能。他认为势能是在某种条件下物质的运动趋势，用物质克服力做的功来计量。同时，他提出物质真实可感知的能量减少时，势能增加；物质势能减少时，物质真实可感知的能量增加。宇宙中物质真实可感知的能量和势能的总和不变，满足能量守恒。

力学中的势能是指物体（或系统）由于位置或位形而具有的潜能。例如，举到髙处的打桩机重锤具有势能，故下落时能使它的动能增加并对外界做功，把桩打入土中；张开的弓具有势能，故在释放时能对箭做功，将它射向目标。

二、保守力的数学描述及物理解析

设力场F为空间内单连通的区域的矢量场，假如它满足下面三个等价条件中任意一个条件，则可称这个矢量场为保守力场。

（1）F为无旋场，即

rot（F）=×F=0（10-1）

（2）质点在F作用下自初始位置，经过闭合路径C，又回到初始位置，力F所做的机械功W等于零，即

（3）力F可以写成某个势能函数Ep的负梯度，即

F=-Ep（10-3）

我们可以证明这三个条件是等价的。

证明：由条件（1）推导出条件（2）。设C为任一始末位置相同，无路线交叉的简单闭合路径，Σ是以C为边界的任意曲面，则根据Stokes公式有

将式（10-1）代入式（10-4）即得

这样我们从条件（1）推出了条件（2）。

再从条件（2）推导出条件（3）。条件（2）的另一种说法是保守力对路径积分与路径无关，这样我们可以定义一个函数

其中0为初始位置，r为物体运动的末位置。如果将式（10-6）两边用梯度算符作用，可得

Ep（r）=-F（10-7）

或者写成

F=-Ep（r）（10-8）

这样我们就从条件（2）推出了条件（3）。同理我们可以从条件（3）推导出条件（1），因为结合式（10-8），式（10-1）可改写为

rot（F）=×F=-×Ep=0（10-9）

所以，上述三个条件在F为矢量场的情况下是等价的，力矢量场F满足其中任意一条即为保守力场。

用简单的话概括一下，保守力的性质主要有：做功与路径无关；沿闭合路径做功为零；势函数的负梯度恰好为原来的力。

一般地，对保守力的定义是做功与路径无关的力。势函数仅与所在位置有关，或力矢量场旋度为零，也被认为可以作为保守力的判断标准。但值得注意的是，若以势函数和矢量场旋度来定义保守力可能会带来一些问题。比如，磁场力与速度有关，它不是矢量场，并不满足势函数和矢量场旋度的判断标准，但因为磁场对带电粒子所做的功始终为零，所以磁场力满足保守力做功与路径无关的定义。由于磁场力的特殊性，它被归为保守力是存在争议的。

三、势能的数学描述及物理解析

Rankine在他的论文中写道：令V为物质可测量的状态，令U为势能，令P为趋势或力。当状态V经过微小的增量d V，势能变化为d U=-Pd V=d V，所以P=-。Rankine的表达在我们今天看来明显不够严谨，但可以看出他文章中的P即为我们所说的保守力。

力学中的势能是指在物理系统内，物体处在某一位置具有的潜能。这个潜能可以用来对物体做功。例如，水力发电站中高水位的水落下有推动机械转子转动做功的能力。反过来，由于保守力做功只与质点的始末位置有关，与路径无关，所以我们可以用保守力做功的大小来定义势能（仅与位置相关的能量）的大小。我们定义质点在A、B位置势能的增量等于保守力将质点从A位置推行到B位置做功的负值，即

式中，Ep表示势能，F表示保守力，r表示物体状态的位置矢量。从上述定义可知，要获得某个位置质点的势能的绝对值，需要选择势能零点。例如，如果我们选择海平面为重力势能零点，则距离海平面高度为z位置的某质点的重力势能为

四、应用举例

例 图10-1为某一粒子在x方向上的势能曲线，问：该粒子在x方向上哪些位置上达到平衡？

解：粒子在x方向上达到平衡时，Fx=0。根据保守力与势能的关系式（10-3）可以知道，对Ep求x的一阶偏导数就可得到保守力在x方向上的分量Fx。即由

图10-1

可判断粒子在A、B、C三点x方向上达到平衡。另外，Ep对x求二阶偏导数可知粒子处于哪种平衡：二阶偏导数大于零（B点），粒子在x方向上处于稳定平衡；二阶偏导数小于零（A点），粒子在x方向上处于不稳定平衡；二阶偏导数等于零（C点），粒子在x方向上处于随遇稳定平衡。

五、保守力、势能概念在自然科学和人类生活中的影响

1．在自然科学方面的影响

保守力和势能的概念是经典力学的一个重要组成部分，为能量守恒定律奠定了一些基础，同时也为我们对于引力、弹簧力、电场力等保守力的分析指明了一条道路，提供了一些方法。与保守力相关的势能图、势垒等概念在物理学中运用十分广泛。分子势能的概念在热力学中也有一定运用。

2．对日常生活的影响

人们利用势能发明了很多东西。在古代，打仗时攻城用的抛石机就是运用了平衡重锤的重力势能，将石头抛向敌方。现在，弹簧和发条作为零件在机械中有着广泛运用，发令枪，发条玩具等就是利用了弹性势能转化为动能的原理。一些运动项目如射箭、跳水等也离不开势能。而水力发电，将水的重力势能转化为电能，则是我们利用物理规律满足生活需要的一个典型例子。保守力和势能与我们生活的方方面面都有着密切的联系。

六、课后习题

10-1 现有两个质量皆为m的质点，一个位于离地心距离为r A（r A＞R，R表示地球半径）的位置，另一个位于离地心距离为r B（r B＞r A＞R）的位置，试计算下面两种情况下它们与地球之间的引力势能，并比较它们在两种情况下的势能差。

（1）选取无穷远处为势能零点；

（2）选取地球表面为势能零点。

10-2 一质点在三维力场中运动，测得力场的势能函数为EP=-ax2+bxy+cz，求：

（1）作用在这个质点上的力F；

（2）当质点从坐标原点运动到（3，3，3）点的过程中，计算上述力做的功。

10-3 质量m1=0．20kg的框子，用一根弹簧悬挂起来，弹簧伸长为0．10m。现在有一质量m2=0．20kg的油灰由距离框底0．30m的高处自由落到框上。求油灰冲击框子而使框子向下移动的最大距离。